Em uma fábrica ou um escritório, o tempo, no horário de trabalho, durante o qual uma máquina não está funcionando em virtude de quebra ou falha é chamado tempo parado. A tabela a seguir é uma amostra da duração desses tempos parados de certa máquina.
Tabela 9: o tempo, no horário de trabalho, durante o qual uma máquina não está funcionando em virtude de quebra ou falha
Tempo parado (minutos) Frequência f
0 |---- 9 2
9 |--- 18 15
18 |---- 27 17
27 |---- 36 12
36 |---- 45 3
45 |---- 54 1
Total 50
Calcule:
O tempo médio em que as máquinas ficaram paradas

Passo 1

O que o problema pede: calcular o tempo médio em que as máquinas ficaram paradas, dado um conjunto de dados agrupados por classes.
Informações fornecidas pela tabela (peguei estes números da tabela):
  • Classes de tempo parado (em minutos) e suas frequências f:
    • [0,9): f=2
    • [9,18): f=15
    • [18,27): f=17
    • [27,36): f=12
    • [36,45): f=3
    • [45,54): f=1
  • Total de observações: \sum f = 50.

Passo 2

Método que vamos usar (explicação didática):
  • Para dados agrupados em classes não se conhece cada observação individual, então a prática padrão é usar o ponto médio de cada classe como representante das observações nessa classe.
  • Denotando por x_i o ponto médio da i-ésima classe e por f_i a frequência dessa classe, a média amostral para dados agrupados é dada por
\bar{x}=\frac{\sum_{i} f_i x_i}{\sum_{i} f_i}.
  • Aqui \bar{x} é o tempo médio buscado, \sum_i f_i x_i é a soma dos produtos frequência vezes ponto médio, e \sum_i f_i é o total de observações (aqui 50).

Passo 3

Calcular os pontos médios x_i das classes. A fórmula do ponto médio da classe [a,b) é
x=\frac{a+b}{2}.
Aplicando em cada classe (mostrando o cálculo):
  • Para [0,9): x_1=\dfrac{0+9}{2}=\;4,5.
  • Para [9,18): x_2=\dfrac{9+18}{2}=\;13,5.
  • Para [18,27): x_3=\dfrac{18+27}{2}=\;22,5.
  • Para [27,36): x_4=\dfrac{27+36}{2}=\;31,5.
  • Para [36,45): x_5=\dfrac{36+45}{2}=\;40,5.
  • Para [45,54): x_6=\dfrac{45+54}{2}=\;49,5.

Passo 4

Calcular os produtos f_i x_i para cada classe (mostrando cada conta):
  • f_1 x_1 = 2 \times 4,5 = 9.
  • f_2 x_2 = 15 \times 13,5 = 202,5.
  • f_3 x_3 = 17 \times 22,5 = 382,5.
  • f_4 x_4 = 12 \times 31,5 = 378.
  • f_5 x_5 = 3 \times 40,5 = 121,5.
  • f_6 x_6 = 1 \times 49,5 = 49,5.

Passo 5

Somar os produtos e verificar o total de frequências:
  • Soma dos produtos:
\sum_i f_i x_i = 9 + 202,5 + 382,5 + 378 + 121,5 + 49,5 = 1143.
  • Soma das frequências:
\sum_i f_i = 2 + 15 + 17 + 12 + 3 + 1 = 50,
que coincide com o total dado na tabela.

Passo 6

Calcular a média usando a fórmula do Passo 2:
\bar{x}=\frac{\sum_i f_i x_i}{\sum_i f_i}=\frac{1143}{50}=22,86.
Interpretação: a média \bar{x} está em minutos porque as classes eram em minutos. Podemos informar com duas casas decimais: 22,86 minutos.

Resposta

22,86\\ \text{minutos}

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