Um tanque aberto está cheio de água e um buraco é feito a uma profundidade de 4,00 metros da superfície. Usando as equações de Bernoulli e da continuidade, determine o que se pede abaixo.
a) ( 1,4 ponto) Se a área da parte aberta (superior) do tanque for muito maior que a área do buraco, qual a velocidade aproximada de saída da água no buraco?
b) ( 2,0 pontos) Se a área do buraco tem um quarto da área aberta do tanque, qual a velocidade de saída da água no buraco no instante em que ele é aberto?

Passo 1

O enunciado trata de um tanque aberto com um nível de água estático a uma profundidade de h=4{,}00 m abaixo da superfície, onde se faz um buraco. Vamos usar o princípio de Bernoulli entre a superfície livre e o orifício, e a equação da continuidade para ligar as velocidades na superfície v_1 e na saída v_2.

Passo 2

Para o caso (a), como a área da superfície A_1 é muito maior que a área do buraco A_2, a velocidade de descida da superfície v_1 pode ser desprezada v_1\approx0. Aplicando Bernoulli entre a superfície (ponto 1) e o orifício (ponto 2):
\underbrace{\tfrac12\rho v_1^2}_{\approx0} + \rho g\,h = \underbrace{\tfrac12\rho v_2^2}_{\text{saída}}.í
Cancelando \rho e isolando v_2, obtemos a Lei de Torricelli:
v_2 = \sqrt{2\,g\,h}.
Substituindo g=9{,}8,m/ s^{2} e h=4{,}00,m:
v_2 = \sqrt{2 \cdot 9{,}8 \cdot 4{,}00} = \sqrt{78{,}4}\approx8{,}86\text{ m/s}.

Passo 3

Para o caso (b), agora A_2 = \tfrac14\,A_1, logo pela continuidade
A_1\,v_1 = A_2\,v_2 \quad\Longrightarrow\quad v_1 = \frac{A_2}{A_1}\,v_2 = \frac14\,v_2.
Em seguida aplicamos Bernoulli entre os mesmos pontos 1 e 2:
\tfrac12\,v_1^2 + g\,h = \tfrac12\,v_2^2.
Substituindo v_1 = \tfrac14\,v_2:
\tfrac12\bigl(\tfrac{v_2}{4}\bigr)^2 + g\,h = \tfrac12\,v_2^2 \quad\Longrightarrow\quad \tfrac{v_2^2}{32} + g\,h = \tfrac{v_2^2}{2}.
Rearranjando:
g\,h = \tfrac{v_2^2}{2} - \tfrac{v_2^2}{32} = \tfrac{16\,v_2^2 - v_2^2}{32} = \tfrac{15\,v_2^2}{32} \quad\Longrightarrow\quad v_2^2 = \frac{32}{15}\,g\,h.
Numericamente:
v_2 = \sqrt{\frac{32}{15}\cdot9{,}8\cdot4{,}00} = \sqrt{83{,}63}\approx9{,}14\text{ m/s}.

Resposta

(a) v\approx8{,}86 m/s
(b) v\approx9{,}14 m/s

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