(3,4 pontos) Considere que \mathrm{P}_{1}=7,7 \cdot 10^{5} \mathrm{~Pa} ; \mathrm{P}_{2}=2,5 \cdot 10^{5} \mathrm{~Pa} ; \mathrm{V}_{1}=1,0 \mathrm{~m}^{3} \mathrm{e} \mathrm{V}_{2}=3,0 \mathrm{~m}^{3}. Se o gás ideal percorre o caminho ACBA , determine: a) ( 1,0 ponto) O trabalho total realizado pelo gás. b) ( 1,0 ponto) a variação de sua energia interna e o calor trocado com o gás. c) ( 1,7 ponto) Responda o que foi pedido nos itens anteriores se o gás percorre o caminho ACBDA.

Passo 1

O enunciado dá um gás ideal que percorre, no diagrama P V, dois trajetos:
  1. A\to C\to B\to A com P_{1}=7,7\times10^{5}\,\mathrm{Pa}, P_{2}=2,5\times10^{5}\,\mathrm{Pa}, V_{1}=1{,}0\,\mathrm{m}^{3} e V_{2}=3{,}0\,\mathrm{m}^{3}. Pede-se no caminho ACBA:
    a) o trabalho total W realizado pelo gás;
    b) a variação de energia interna \Delta U e o calor Q trocado.
  2. O mesmo para o ciclo A\to C\to B\to D\to A.
    Vamos usar o teorema da energia interna do gás ideal ( \Delta U depende só de estados finais e iniciais) e a primeira lei da termodinâmica
Q=\Delta U+W\,.

Passo 2

Caminho A\to C: expansão isobárica a P_{1} de V_{1} a V_{2}. O trabalho é
W_{AC}=P_{1}\,(V_{2}-V_{1})\,.
Caminho C\to B: isocórico em V_{2}, logo
W_{CB}=0\,.
Caminho B\to A: processo linear de (V_{2},P_{2}) a (V_{1},P_{1}). A equação de P(V) é
P(V)=P_{1}+\frac{P_{2}-P_{1}}{V_{2}-V_{1}}\,(V-V_{1})\,.
Então
W_{BA} =\int_{V_{2}}^{V_{1}}P(V)\,dV =P_{1}(V_{1}-V_{2}) -\frac{P_{2}-P_{1}}{2\,(V_{2}-V_{1})}(V_{2}-V_{1})^{2} =-\,(V_{2}-V_{1})\frac{P_{1}+P_{2}}{2}\,.

Passo 3

Somando os três trechos, o trabalho total no ciclo A\to C\to B\to A é
W =W_{AC}+W_{CB}+W_{BA} =P_{1}(V_{2}-V_{1}) -\frac{(V_{2}-V_{1})(P_{1}+P_{2})}{2} =(V_{2}-V_{1})\frac{P_{1}-P_{2}}{2}\,.
Substituindo V_{2}-V_{1}=2{,}0\,\mathrm{m}^{3} e P_{1}-P_{2}=5{,}2\times10^{5}\,\mathrm{Pa},
W=(2{,}0)\frac{5{,}2\times10^{5}}{2}=5{,}2\times10^{5}\,\mathrm{J}\,.

Passo 4

Como o gás retorna ao ponto A, \Delta U=0. Pela primeira lei,
Q=\Delta U+W=0+5{,}2\times10^{5}=5{,}2\times10^{5}\,\mathrm{J}.

Passo 5

Agora o ciclo A\to C\to B\to D\to A tem quatro trechos:
A\to C (isobárico P_{1}), C\to B (isochorico em V_{2}), B\to D (isobárico P_{2} de V_{2} a V_{1}), D\to A (isochorico em V_{1}).
O trabalho é apenas nos trechos isobáricos:
W_{AC}=P_{1}(V_{2}-V_{1}),\quad W_{CB}=0,\quad W_{BD}=P_{2}(V_{1}-V_{2})=-P_{2}(V_{2}-V_{1}),\quad W_{DA}=0.
Logo
W=W_{AC}+W_{BD} =(V_{2}-V_{1})(P_{1}-P_{2}) =2{,}0\times5{,}2\times10^{5} =1{,}04\times10^{6}\,\mathrm{J}\,.

Passo 6

De novo é um ciclo fechado, então \Delta U=0 e
Q=W=1{,}04\times10^{6}\,\mathrm{J}.

Resposta

a) Para A\to C\to B\to A:
W=5{,}2\times10^{5}\,\mathrm{J}.
b)
\Delta U=0,\quad Q=5{,}2\times10^{5}\,\mathrm{J}.
c) Para A\to C\to B\to D\to A:
W=1{,}04\times10^{6}\,\mathrm{J},\quad \Delta U=0,\quad Q=1{,}04\times10^{6}\,\mathrm{J}.

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