Um tanque de água é preenchido por três tubulações, a primeira tubulação leva 3 horas para encher completamente o tanque, a segunda leva 4 horas e a terceira tubulação leva 6 horas. Se todas as tubulações forem abertas ao mesmo tempo, em quanto tempo o tanque estará completamente cheio?

Passo 1

Então, temos um problema em que um tanque de água está sendo enchido por três tubulações diferentes. A primeira leva 3 horas para encher o tanque sozinho, a segunda leva 4 horas e a terceira leva 6 horas. Queremos saber quanto tempo levará para encher completamente o tanque se todas as tubulações forem abertas ao mesmo tempo. Vamos usar o conceito de taxas de enchimento para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que é uma taxa de enchimento. A taxa de enchimento de uma tubulação é a parte do tanque que ela consegue encher em uma hora. Por exemplo, se uma tubulação enche o tanque em 3 horas, sua taxa de enchimento é $ \frac{1}{3} $ do tanque por hora.

Passo 3

Vamos calcular a taxa de enchimento de cada tubulação:
  • Primeira tubulação: Enche o tanque em 3 horas.
    Taxa1 = 13 tanque por hora
  • Segunda tubulação: Enche o tanque em 4 horas.
    Taxa2 = 14 tanque por hora
  • Terceira tubulação: Enche o tanque em 6 horas.
    Taxa3 = 16 tanque por hora

Passo 4

Agora, como todas as tubulações estão abertas ao mesmo tempo, suas taxas de enchimento se somam. Vamos somar as três taxas:
Taxa total = Taxa1 + Taxa2 + Taxa3 = 13 + 14 + 16

Passo 5

Para somar essas frações, precisamos encontrar um denominador comum. O menor múltiplo comum de 3, 4 e 6 é 12. Vamos converter cada fração:
13 = 412, 14 = 312, 16 = 212
Agora, somando:
Taxa total = 412 + 312 + 212 = 912

Passo 6

A taxa total de enchimento é $ \frac{9}{12} $ do tanque por hora. Podemos simplificar essa fração dividindo numerator e denominator por 3:
912
Então, juntos, os três canos enchem $ \frac{3}{4} $ do tanque em uma hora.

Passo 7

Para encontrar o tempo total necessário para encher o tanque completo, vamos usar a fórmula:
Tempo = 1Taxa total = 134 = 43 horas

Resposta

O tanque ficará completamente cheio em $ \frac{4}{3} $ horas, ou seja, 1 hora e 20 minutos.

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