Um tanque é alimentado com um fluido de massa específica igual a 700 kg / m^3. A tubulação de entrada no tanque tem 8 cm de diâmetro e a velocidade do fluido nessa tubulação é de 3 m / s. Conectado ao tanque tem-se duas tubulações de saída, uma com diâmetro de 5 cm e outra com diâmetro de 2 cm . A velocidade de escoamento na tubulação de maior diâmetro é de 1 m / s e na de menor diâmetro é de 8 m / s. A partir da equação da continuidade, calcule a altura de nível no tanque após 1 / 2 h de operação, considerando que ele estava inicialmente vazio. Dados: área da base do tanque é de 4 m^2.

Passo 1

Beleza, amigo! A questão é de Mecânica dos Fluidos e vai usar a equação da continuidade pra balancear o que entra e o que sai do tanque. Temos:
  • Densidade do fluido (que aqui na verdade não afeta a continuidade, mas tá no enunciado) = Qin - Qout = dVdt ,kg/m³
  • Tubulação de entrada: diâmetro de cm, velocidade m/s
  • Duas saídas: uma com diâmetro cm e velocidade m/s, outra com diâmetro cm e velocidade m/s
  • Área da base do tanque ,m²
  • Tempo de operação = h = s
    O que vamos precisar:
  1. Calcular as áreas das tubulações com .
  2. Determinar as vazões .
  3. Usar a equação da continuidade em forma acumulada:
  1. Integrar em s pra achar o volume e daí achar a altura .

Passo 2

Primeiro, as áreas de cada cano. Lembra que diâmetro rin = 0,08/2 = 0,04m, Ain = pi rin^2 = pi (0,04)^2 approx 5,0265times10^-3,m^2 dá raio r1 = 0,05/2 = 0,025m, A1 = pi (0,025)^2 approx 1,963times10^-3,m^2 . Então:
  • Entrada ( r2 = 0,02/2 = 0,01m, A2 = pi (0,01)^2 approx 3,142times10^-4,m^2 ,cm = 0,08 m):
  • Saída 1 ( ,cm = 0,05 m):
  • Saída 2 ( ,cm = 0,02 m):

Passo 3

Agora as vazões ( Qout = Qout1 + Qout2 = 0,001963 + 0,002513 = 0,004476m^3/s ):
  • ,m³/s.
  • ,m³/s.
  • ,m³/s.
    Somando as saídas:

Passo 4

Pelo princípio de continuidade, o que entra menos o que sai é o que acumula no tanque:
Qin - Qout = dVdt
Como o tanque começou vazio e as vazões são constantes, a variação de volume em V(t) = l(Qin - Qoutr);t é

Passo 5

Calculemos o volume em Qin - Qout = 0,01508 - 0,004476 = 0,010604m^3/s, h = V = 0,010604 times 1800 approx 19,088m^3 s:
h = VAtanque = 19,0884 approx 4,772m
Pra achar a altura no tanque, dividimos pelo área da base:

Resposta

A altura do nível no tanque após meia hora de operação será aproximadamente metros.

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