Um tanque com capacidade de 400 L contém inicialmente 100 L de água salgada com 50 kg de sal. Água salgada contendo 1 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de
, e a água misturada no tanque flui para fora a uma taxa de
. Determine
(quantidade se sal no tanque no tempo t ) para qualquer valor de t .
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
-
O enunciado dá:
- Capacidade do tanque:
(não será necessária diretamente, só garante que não transborda inicialmente). - Volume inicial de líquido no tanque:
. - Massa inicial de sal no tanque:
. - Água salgada que entra: concentração
e vazão de entrada . - Vazão de saída (água misturada):
.
- Capacidade do tanque:
-
O que se pede:
- Determinar
, a quantidade de sal (em kg) no tanque no tempo (para qualquer ).
- Determinar
Passo 2
Modelagem e equação diferencial básica (balanço de massa de sal).
-
Definição das variáveis:
-
= massa de sal no tanque em kg no tempo . -
= volume de líquido no tanque em L no tempo .
-
-
Como o volume varia:
- Taxa líquida de entrada de volume =
. - Portanto
- Taxa líquida de entrada de volume =
-
Balanço de sal (princípio): taxa de variação da massa de sal = taxa de entrada de sal − taxa de saída de sal.
- Taxa de entrada de sal = vazão de entrada
concentração de entrada - Concentração instantânea no tanque =
(kg/L). - Taxa de saída de sal = vazão de saída
concentração no tanque (kg/min).
- Taxa de entrada de sal = vazão de entrada
-
Logo a equação diferencial écom condição inicial
Passo 3
Identificar o tipo de equação e colocar na forma padrão.
- A equação é uma equação linear de primeira ordem. A forma padrão é
- Aqui, identificamos
- Método escolhido: fator integrante (integrating factor). Vou explicar o que é e por que funciona:
- Para uma equação linear
, multiplica-se ambos os lados por . Isso torna o lado esquerdo exatamente a derivada do produto :
- Depois integra-se ambos os lados e aplica-se a condição inicial.
- Para uma equação linear
Passo 4
Calcular o fator integrante
.
- Calcular a integral
- Fazer a primitiva: uma substituição rápida dá
- Portanto o fator integrante é
Passo 5
Multiplicar a equação por
e escrever como derivada de produto.
- Multiplicando a equação original por
obtemos - O termo da esquerda é a derivada:
Passo 6
Integrar ambos os lados para obter
.
- Integramos em
: - A integral do lado esquerdo dá
mais constante. Para a integral do lado direito, faça a substituição , então , : (os fatores se simplificam lindamente). - Assim obtemos
onde é constante de integração.
Passo 7
Resolver para
e aplicar a condição inicial.
- Dividindo por
: - Usar
. Para temos , portanto - Calcular
: , então . Assim - Logo
Passo 8
Interpretação curta (dica para prova).
- A solução encontrada é
- Comportamento físico: conforme
, o termo , então . A concentração tende a , que é a concentração da água que entra — isso faz sentido porque a entrada domina no longo prazo.