Um tanque com capacidade de 400 L contém inicialmente 100 L de água salgada com 50 kg de sal. Água salgada contendo 1 kg de sal por litro entra no tanque a uma taxa de 5 \mathrm{~L} / \mathrm{min}, e a água misturada no tanque flui para fora a uma taxa de 3 \mathrm{~L} / \mathrm{min}. Determine \mathrm{y}(\mathrm{t}) (quantidade se sal no tanque no tempo t ) para qualquer valor de t .

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (sem resolver ainda).
  • O enunciado dá:
    • Capacidade do tanque: 400\\ \text{L} (não será necessária diretamente, só garante que não transborda inicialmente).
    • Volume inicial de líquido no tanque: V(0)=100\\ \text{L}.
    • Massa inicial de sal no tanque: y(0)=50\\ \text{kg}.
    • Água salgada que entra: concentração 1\\ \text{kg/L} e vazão de entrada 5\\ \text{L/min}.
    • Vazão de saída (água misturada): 3\\ \text{L/min}.
  • O que se pede:
    • Determinar y(t), a quantidade de sal (em kg) no tanque no tempo t (para qualquer t\ge0).

Passo 2

Modelagem e equação diferencial básica (balanço de massa de sal).
  • Definição das variáveis:
    • y(t) = massa de sal no tanque em kg no tempo t.
    • V(t) = volume de líquido no tanque em L no tempo t.
  • Como o volume varia:
    • Taxa líquida de entrada de volume = 5-3=2\\ \text{L/min}.
    • Portanto
    V(t)=100+2t\quad(\text{L}).
  • Balanço de sal (princípio): taxa de variação da massa de sal = taxa de entrada de sal − taxa de saída de sal.
    • Taxa de entrada de sal = vazão de entrada \times concentração de entrada =5\\ (\text{L/min})\times 1\\ (\text{kg/L})=5\\ \text{kg/min}.
    • Concentração instantânea no tanque = \dfrac{y(t)}{V(t)} (kg/L).
    • Taxa de saída de sal = vazão de saída \times concentração no tanque =3\cdot \dfrac{y(t)}{V(t)} (kg/min).
  • Logo a equação diferencial é
    \frac{dy}{dt}=5-3\frac{y(t)}{100+2t},
    com condição inicial
    y(0)=50.

Passo 3

Identificar o tipo de equação e colocar na forma padrão.
  • A equação é uma equação linear de primeira ordem. A forma padrão é \frac{dy}{dt}+p(t)y=q(t).
  • Aqui, identificamos p(t)=\frac{3}{100+2t},\qquad q(t)=5.
  • Método escolhido: fator integrante (integrating factor). Vou explicar o que é e por que funciona:
    • Para uma equação linear \dfrac{dy}{dt}+p(t)y=q(t), multiplica-se ambos os lados por \mu(t)=\exp\!\left(\int p(t)\,dt\right). Isso torna o lado esquerdo exatamente a derivada do produto \mu(t)y(t):
    \frac{d}{dt}\big(\mu(t)y(t)\big)=\mu(t)q(t).
    • Depois integra-se ambos os lados e aplica-se a condição inicial.

Passo 4

Calcular o fator integrante \mu(t).
  • Calcular a integral \int p(t)\,dt=\int \frac{3}{100+2t}\,dt.
  • Fazer a primitiva: uma substituição rápida dá \int \frac{3}{100+2t}\,dt=\frac{3}{2}\ln(100+2t).
  • Portanto o fator integrante é \mu(t)=\exp\!\left(\frac{3}{2}\ln(100+2t)\right)=(100+2t)^{3/2}.

Passo 5

Multiplicar a equação por \mu(t) e escrever como derivada de produto.
  • Multiplicando a equação original por (100+2t)^{3/2} obtemos (100+2t)^{3/2}\frac{dy}{dt}+ (100+2t)^{3/2}\frac{3}{100+2t}y = 5(100+2t)^{3/2}.
  • O termo da esquerda é a derivada: \frac{d}{dt}\!\left(y(100+2t)^{3/2}\right)=5(100+2t)^{3/2}.

Passo 6

Integrar ambos os lados para obter y(t).
  • Integramos em t: \int \frac{d}{dt}\!\left(y(100+2t)^{3/2}\right)\,dt=\int 5(100+2t)^{3/2}\,dt.
  • A integral do lado esquerdo dá y(100+2t)^{3/2} mais constante. Para a integral do lado direito, faça a substituição u=100+2t, então du=2\,dt, dt=\tfrac{du}{2}: \int 5(100+2t)^{3/2}\,dt = 5\int u^{3/2}\frac{du}{2}=\frac{5}{2}\cdot\frac{u^{5/2}}{5/2}=u^{5/2}.(os fatores se simplificam lindamente).
  • Assim obtemos y(100+2t)^{3/2}=(100+2t)^{5/2}+C,onde C é constante de integração.

Passo 7

Resolver para y(t) e aplicar a condição inicial.
  • Dividindo por (100+2t)^{3/2}: y(t)= (100+2t)^{5/2}(100+2t)^{-3/2}+C(100+2t)^{-3/2}=100+2t + C(100+2t)^{-3/2}.
  • Usar y(0)=50. Para t=0 temos 100+2t=100, portanto 50=100 + C\cdot 100^{-3/2}.
  • Calcular 100^{3/2}: \sqrt{100}=10, então 100^{3/2}=10^3=1000. Assim C\cdot \frac{1}{1000}=50-100=-50\quad\Rightarrow\quad C=-50\cdot 1000=-50000.
  • Logo y(t)=100+2t -50000(100+2t)^{-3/2}.

Passo 8

Interpretação curta (dica para prova).
  • A solução encontrada é y(t)=100+2t -50000(100+2t)^{-3/2}.
  • Comportamento físico: conforme t\to\infty, o termo (100+2t)^{-3/2}\to 0, então y(t)\sim 100+2t. A concentração y(t)/V(t) tende a 1\\ \text{kg/L}, que é a concentração da água que entra — isso faz sentido porque a entrada domina no longo prazo.

Resposta

y(t)=100+2t-50000(100+2t)^{-3/2}

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