Resolva a equação diferencial x y^{\prime}+(x+1) y=x .

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
x\,y'(x)+(x+1)\,y(x)=x.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) da equação. Informação importante do enunciado que vou usar: a equação envolve y'(x) (derivada de y em relação a x) e há fatores x multiplicando termos — portanto teremos que assumir x\neq0 ao dividir por x. Não há condição inicial fornecida, então vou obter a solução geral com uma constante arbitrária.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo a equação por x (lembrando que isso só é válido para x\neq0) obtemos
y'(x)+\frac{x+1}{x}\,y(x)=1.
Aqui identifiquei p(x)=\dfrac{x+1}{x} e q(x)=1. Também explicando passo a passo: y'(x) significa \dfrac{dy}{dx}; a forma padrão é \,y'+p(x)y=q(x)\,, que prepara para usar o fator integrante.

Passo 3

Apresentar e justificar o método do fator integrante. Para uma equação da forma
y'+p(x)y=q(x)
o fator integrante \mu(x) é definido por
\mu(x)=\exp\!\left(\int p(x)\,dx\right).
Motivação rápida (intuitiva): multiplicando a equação por \mu obtemos \mu y'+\mu p y=(\mu y)' se \mu'\!=\!\mu p; a condição \mu'/\mu=p leva a \ln\mu=\int p, daí a fórmula acima. Depois disso a equação vira (\mu y)'=\mu q, que integra-se facilmente.

Passo 4

Calcular explicitamente o fator integrante. Temos p(x)=1+\dfrac{1}{x}. Então
\int p(x)\,dx=\int\!1\,dx+\int\!\frac{1}{x}\,dx = x+\ln|x|.
Logo
\mu(x)=\exp\!\left(x+\ln|x|\right)=e^{x}\,|x|.
Observação prática: como a equação só vale para x\neq0, pode-se escolher \mu(x)=x e^{x} em cada intervalo onde x>0 ou x<0 (o sinal absoluto fica absorvido na constante de integração depois). Para simplicidade operacional uso \mu(x)=x e^{x} e mantenho x\neq0.

Passo 5

Multiplicar a equação padrão por \mu(x)=x e^{x}. A equação y'+\dfrac{x+1}{x}y=1 multiplicada por x e^{x} fica
x e^{x} y' + (x+1) e^{x} y = x e^{x}.
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto x e^{x} y, pois
\frac{d}{dx}\big(x e^{x} y\big)=\big(x e^{x}\big) y' + \big(x e^{x}\big)' y
e \big(x e^{x}\big)'=e^{x}+x e^{x}=e^{x}(x+1), então o lado esquerdo se escreve
\frac{d}{dx}\big(x e^{x} y\big)=x e^{x} y' + (x+1)e^{x} y.
Portanto a equação passa a ser
\frac{d}{dx}\big(x e^{x} y\big)=x e^{x}.

Passo 6

Integrar ambos os lados em relação a x. Integramos:
\int \frac{d}{dx}\big(x e^{x} y\big)\,dx = \int x e^{x}\,dx.
Daí
x e^{x} y = \int x e^{x}\,dx + C,
onde C é a constante de integração. Agora calculamos a integral \int x e^{x}\,dx por partes: tomar u=x e dv=e^{x}dx du=dx e v=e^{x}, então
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C_1 = (x-1)e^{x}+C_1.
Substituindo (absorvendo constantes) obtemos
x e^{x} y = (x-1)e^{x} + C.

Passo 7

Isolar y(x) e simplificar. Dividindo por x e^{x} (com x\neq0) resulta
y(x)=\frac{(x-1)e^{x}+C}{x e^{x}} = \frac{x-1}{x} + \frac{C}{x e^{x}}.
Simplificando \dfrac{x-1}{x}=1-\dfrac{1}{x}, a forma final é
y(x)=1-\frac{1}{x}+\frac{C}{x e^{x}},\qquad x\neq0,
onde C\in\mathbb{R} é a constante arbitrária. Observação sobre domínio: a solução é válida em intervalos onde x não muda de sinal (ou seja, em (0,\infty) e em (-\infty,0) separadamente); a constante C pode assumir sinais que absorvem o |x| do fator integrante se for o caso.

Passo 8

Pequena verificação (opcional): se quiser checar na prova, pode derivar a expressão obtida e substituir de volta na equação original para confirmar que a igualdade se satisfaz. Isso garante que não houve erro algébrico. Você também pode explicar que a presença de 1-\dfrac{1}{x} é a solução particular e \dfrac{C}{x e^{x}} é a solução geral da homogênea associada.

Resposta

y(x)=1-\dfrac{1}{x}+\dfrac{C}{x e^{x}},\quad x\neq0

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