Resolva a equação diferencial x y^{\prime}+(x+1) y=x .
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
O que se pede: encontrar a solução geral
da equação. Informação importante do enunciado que vou usar: a equação envolve
(derivada de
em relação a
) e há fatores
multiplicando termos — portanto teremos que assumir
ao dividir por
. Não há condição inicial fornecida, então vou obter a solução geral com uma constante arbitrária.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem. Dividindo a equação por
(lembrando que isso só é válido para
) obtemos
Aqui identifiquei
e
. Também explicando passo a passo:
significa
; a forma padrão é
, que prepara para usar o fator integrante.
Passo 3
Apresentar e justificar o método do fator integrante. Para uma equação da forma
o fator integrante
é definido por
Motivação rápida (intuitiva): multiplicando a equação por
obtemos
se
; a condição
leva a
, daí a fórmula acima. Depois disso a equação vira
, que integra-se facilmente.
Passo 4
Calcular explicitamente o fator integrante. Temos
. Então
Logo
Observação prática: como a equação só vale para
, pode-se escolher
em cada intervalo onde
ou
(o sinal absoluto fica absorvido na constante de integração depois). Para simplicidade operacional uso
e mantenho
.
Passo 5
Multiplicar a equação padrão por
. A equação
multiplicada por
fica
Repare que o lado esquerdo é exatamente a derivada do produto
, pois
e
, então o lado esquerdo se escreve
Portanto a equação passa a ser
Passo 6
Integrar ambos os lados em relação a
. Integramos:
Daí
onde
é a constante de integração. Agora calculamos a integral
por partes: tomar
e
dá
e
, então
Substituindo (absorvendo constantes) obtemos
Passo 7
Isolar
e simplificar. Dividindo por
(com
) resulta
Simplificando
, a forma final é
onde
é a constante arbitrária. Observação sobre domínio: a solução é válida em intervalos onde
não muda de sinal (ou seja, em
e em
separadamente); a constante
pode assumir sinais que absorvem o
do fator integrante se for o caso.
Passo 8
Pequena verificação (opcional): se quiser checar na prova, pode derivar a expressão obtida e substituir de volta na equação original para confirmar que a igualdade se satisfaz. Isso garante que não houve erro algébrico. Você também pode explicar que a presença de
é a solução particular e
é a solução geral da homogênea associada.