Um tanque com capacidade de 900 litros contém inicialmente 100 litros de água pura. Entra água com 4 gramas de sal por litro a uma taxa de 8 litros por minuto e a mistura escoa numa taxa de 4 litros por minuto. Determine a quantidade de sal no tanque quando a solução está para transbordar.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos esses números do enunciado).
  • Capacidade do tanque: 900 litros.
  • Volume inicial de água pura: 100 litros.
  • Água que entra: concentração 4 gramas de sal por litro, vazão de 8 litros por minuto.
  • Saída: vazão de 4 litros por minuto (mistura homogênea sai à mesma concentração da mistura no tanque).
  • Pergunta: determinar a quantidade de sal no tanque no instante em que a solução está para transbordar (ou seja, quando o volume atinge 900 L).

Passo 2

Primeiro vamos achar quanto tempo leva para o tanque encher até 900 L.
  • A taxa líquida de aumento de volume é entrada menos saída: 8-4=4 litros por minuto.
  • Volume em função do tempo t (em minutos) é
V(t)=100+4t.
  • Encontrar t_f tal que V(t_f)=900. Então
100+4t_f=900 \quad\Rightarrow\quad 4t_f=800 \quad\Rightarrow\quad t_f=200\\ \text{min}.
Ou seja, daqui a 200 minutos o tanque está para transbordar.

Passo 3

Agora modelamos a quantidade de sal. Seja S(t) a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante t.
  • Taxa de entrada de sal: concentração de entrada \times vazão de entrada =4\\ \text{g/L}\times 8\\ \text{L/min}=32\\ \text{g/min}.
  • Concentração da solução no tanque no tempo t é \dfrac{S(t)}{V(t)}=\dfrac{S(t)}{100+4t} (g por litro).
  • Taxa de saída de sal: concentração no tanque \times vazão de saída = \dfrac{S(t)}{100+4t}\times 4 (g/min).
  • Logo, variação do sal é entrada menos saída, isto é a equação diferencial
\frac{dS}{dt}=32-\frac{4\,S}{100+4t}.

Passo 4

Transformar a equação diferencial para a forma linear padrão e explicar o método que usaremos.
  • Colocando em forma padrão:
\frac{dS}{dt}+\frac{4}{100+4t}\,S=32.
  • Esta é uma equação linear de primeira ordem do tipo \dfrac{dS}{dt}+p(t)S=q(t). O método é usar um fator integrante \mu(t) tal que \mu(t)\big(\dfrac{dS}{dt}+p(t)S\big)=\dfrac{d}{dt}\big(\mu(t)S\big).
  • O fator integrante é \mu(t)=\exp\!\big(\int p(t)\,dt\big). Aqui p(t)=\dfrac{4}{100+4t}.

Passo 5

Calcular o fator integrante e aplicá-lo.
  • Calcular a integral:
\int \frac{4}{100+4t}\,dt = \ln(100+4t),
pois a derivada de \ln(100+4t) é \dfrac{4}{100+4t}.
  • Assim
\mu(t)=\exp\!\big(\ln(100+4t)\big)=100+4t.
  • Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
(100+4t)\frac{dS}{dt}+4S = 32(100+4t).
  • O lado esquerdo é exatamente a derivada de (100+4t)S, então
\frac{d}{dt}\big((100+4t)S\big)=32(100+4t).

Passo 6

Integrar e aplicar a condição inicial.
  • Integramos em t:
(100+4t)S(t)=32\int (100+4t)\,dt + C.
  • Calcular a integral:
\int (100+4t)\,dt = 100t+2t^2,
portanto
(100+4t)S(t)=32\big(100t+2t^2\big)+C = 3200t+64t^2 + C.
  • Condição inicial: no início havia água pura, logo S(0)=0. Aplicando em t=0:
(100+0)S(0)=100\cdot 0 = 0 = 3200\cdot 0 + 64\cdot 0 + C,
logo C=0.

Passo 7

Obter a solução explícita para S(t) e simplificar.
  • Com C=0,
(100+4t)S(t)=3200t+64t^2.
  • Assim
S(t)=\frac{3200t+64t^2}{100+4t}.
  • Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por 4:
S(t)=\frac{800t+16t^2}{25+t}=\frac{16t(t+50)}{t+25}.
Essa expressão dá a quantidade de sal (em gramas) no tanque no tempo t minutos.

Passo 8

Avaliar S(t) no instante de transbordamento t_f=200 min.
  • Usando a forma fatorada:
S(200)=\frac{16\cdot 200\cdot(200+50)}{200+25}.
  • Calcular passo a passo:
200+50=250,\qquad 200+25=225,
16\cdot 200=3200,\qquad \frac{250}{225}=\frac{10}{9}.
  • Portanto
S(200)=3200\cdot\frac{10}{9}=\frac{32000}{9}\\ \text{g}\approx 3555,56\\ \text{g}.

Resposta

\dfrac{32000}{9}\\ \text{g}\approx 3555,56\\ \text{g}

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