Um tanque com capacidade de 900 litros contém inicialmente 100 litros de água pura. Entra água com 4 gramas de sal por litro a uma taxa de 8 litros por minuto e a mistura escoa numa taxa de 4 litros por minuto. Determine a quantidade de sal no tanque quando a solução está para transbordar.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede (peguei todos esses números do enunciado).
- Capacidade do tanque:
litros. - Volume inicial de água pura:
litros. - Água que entra: concentração
gramas de sal por litro, vazão de litros por minuto. - Saída: vazão de
litros por minuto (mistura homogênea sai à mesma concentração da mistura no tanque). - Pergunta: determinar a quantidade de sal no tanque no instante em que a solução está para transbordar (ou seja, quando o volume atinge
L).
Passo 2
Primeiro vamos achar quanto tempo leva para o tanque encher até
L.
- A taxa líquida de aumento de volume é entrada menos saída:
litros por minuto. - Volume em função do tempo
(em minutos) é
- Encontrar
tal que . Então
Ou seja, daqui a
minutos o tanque está para transbordar.
Passo 3
Agora modelamos a quantidade de sal. Seja
a quantidade de sal (em gramas) no tanque no instante
.
- Taxa de entrada de sal: concentração de entrada
vazão de entrada . - Concentração da solução no tanque no tempo
é (g por litro). - Taxa de saída de sal: concentração no tanque
vazão de saída (g/min). - Logo, variação do sal é entrada menos saída, isto é a equação diferencial
Passo 4
Transformar a equação diferencial para a forma linear padrão e explicar o método que usaremos.
- Colocando em forma padrão:
- Esta é uma equação linear de primeira ordem do tipo
. O método é usar um fator integrante tal que . - O fator integrante é
. Aqui .
Passo 5
Calcular o fator integrante e aplicá-lo.
- Calcular a integral:
pois a derivada de
é
.
- Assim
- Multiplicando a equação original por
obtemos
- O lado esquerdo é exatamente a derivada de
, então
Passo 6
Integrar e aplicar a condição inicial.
- Integramos em
:
- Calcular a integral:
portanto
- Condição inicial: no início havia água pura, logo
. Aplicando em :
logo
.
Passo 7
Obter a solução explícita para
e simplificar.
- Com
,
- Assim
- Podemos simplificar dividindo numerador e denominador por
:
Essa expressão dá a quantidade de sal (em gramas) no tanque no tempo
minutos.
Passo 8
Avaliar
no instante de transbordamento
min.
- Usando a forma fatorada:
- Calcular passo a passo:
- Portanto