Questão 26. Determine o retângulo de maior perímetro inscrito na elipse
.
Passo 1
O enunciado pede: determinar o retângulo inscrito na elipse
que tem o maior perímetro possível. Ou seja:
- Quais são as coordenadas dos vértices do retângulo (ou as semi-dimensões
e ) que maximizam o perímetro? - Qual é o valor desse perímetro máximo?
Informações dadas:
- A elipse tem equação
. - O retângulo está inscrito na elipse (todos os quatro vértices sobre a elipse) e, por simetria, podemos tomar os vértices como
com , . - O perímetro do retângulo é
.
Nada mais é fornecido; temos de escolhersujeitos à restrição da elipse para maximizar .
Passo 2
Modelar o problema matematicamente e escolher método. Como a restrição é a elipse e o perímetro é
, uma maneira simples é eliminar
usando a equação da elipse e obter uma função de uma variável
, depois maximizar essa função por derivadas. Essa escolha é direta e exige cálculo básico (derivada e análise de extremos), mais simples que Lagrange aqui.
Pela elipse, para
temos
onde se toma o sinal positivo porque escolhemos
. Portanto
Passo 3
Explicar como derivar
passo a passo (cadeia e raiz). Vamos calcular a derivada
. Primeiro defino
A regra da cadeia diz que
Simplificando os fatores,
Como
, pela linearidade da derivada:
Passo 4
Encontrar pontos críticos: impor
. Assim
Isolando o termo com raiz,
Como todos os termos do lado direito são não negativos para
, podemos elevar ao quadrado para eliminar a raiz (cuidando de possíveis soluções espúrias, que conferiremos depois). Ao elevar ao quadrado:
Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
Desenvolvendo o lado esquerdo:
Reorganizando para isolar
:
Portanto
tomando a raiz positiva porque escolhemos
.
Passo 5
Calcular
correspondente usando a equação da elipse. Substituindo
em
:
Assim
Portanto, tomando
,
Passo 6
Calcular o perímetro máximo correspondente. O perímetro quando
e
têm esses valores é
Simplificando a fração:
Passo 7
Verificar que é de fato máximo (não mínimo nem ponto espúrio). A função
é contínua em
e diferenciável em
, logo o máximo em
ocorre em pontos críticos internos ou nas extremidades
ou
. Avaliando nas extremidades:
Comparando com
, nota-se que
e
, com igualdade somente se uma das variáveis for zero (caso degenerado). Portanto
e
, com estrita desigualdade em casos não degenerados. Assim a solução interior encontrada é o máximo global do perímetro no intervalo considerado. (Além disso, a etapa de quadratura não introduziu solução espúria, pois o sinal positivo de ambos os lados foi respeitado.)
Resposta
Vértices do retângulo de maior perímetro:
Perímetro máximo: