Questão 26. Determine o retângulo de maior perímetro inscrito na elipse \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.

Passo 1

O enunciado pede: determinar o retângulo inscrito na elipse \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1 que tem o maior perímetro possível. Ou seja:
  • Quais são as coordenadas dos vértices do retângulo (ou as semi-dimensões x e y) que maximizam o perímetro?
  • Qual é o valor desse perímetro máximo?
Informações dadas:
  • A elipse tem equação \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1.
  • O retângulo está inscrito na elipse (todos os quatro vértices sobre a elipse) e, por simetria, podemos tomar os vértices como (\pm x,\pm y) com x\ge0, y\ge0.
  • O perímetro do retângulo é P=4(x+y).
    Nada mais é fornecido; temos de escolher x,y sujeitos à restrição da elipse para maximizar P.

Passo 2

Modelar o problema matematicamente e escolher método. Como a restrição é a elipse e o perímetro é P=4(x+y), uma maneira simples é eliminar y usando a equação da elipse e obter uma função de uma variável P(x), depois maximizar essa função por derivadas. Essa escolha é direta e exige cálculo básico (derivada e análise de extremos), mais simples que Lagrange aqui.
Pela elipse, para x\in[0,a] temos
y = b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}},
onde se toma o sinal positivo porque escolhemos y\ge0. Portanto
P(x)=4\Bigl(x+b\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\;}\Bigr),\qquad 0\le x\le a.

Passo 3

Explicar como derivar P(x) passo a passo (cadeia e raiz). Vamos calcular a derivada P'(x). Primeiro defino
g(x)=\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}=\biggl(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\biggr)^{1/2}.
A regra da cadeia diz que
g'(x)=\frac{1}{2}\biggl(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\biggr)^{-1/2}\cdot\biggl(-\frac{2x}{a^{2}}\biggr).
Simplificando os fatores,
g'(x)=-\frac{x}{a^{2}}\biggl(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\biggr)^{-1/2} = -\frac{x}{a^{2}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}.
Como P(x)=4\bigl(x+b\,g(x)\bigr), pela linearidade da derivada:
P'(x)=4\Bigl(1+b\,g'(x)\Bigr) =4\Bigl(1 - b\frac{x}{a^{2}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}\Bigr).

Passo 4

Encontrar pontos críticos: impor P'(x)=0. Assim
1 - b\frac{x}{a^{2}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}=0.
Isolando o termo com raiz,
1=\frac{b x}{a^{2}\sqrt{1-\frac{x^{2}}{a^{2}}}}.
Como todos os termos do lado direito são não negativos para x\ge0, podemos elevar ao quadrado para eliminar a raiz (cuidando de possíveis soluções espúrias, que conferiremos depois). Ao elevar ao quadrado:
1=\frac{b^{2}x^{2}}{a^{4}\bigl(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\bigr)}.
Multiplicando ambos os lados pelo denominador:
a^{4}\Bigl(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\Bigr)=b^{2}x^{2}.
Desenvolvendo o lado esquerdo:
a^{4}-a^{2}x^{2}=b^{2}x^{2}.
Reorganizando para isolar x^{2}:
a^{4}=x^{2}\bigl(a^{2}+b^{2}\bigr).
Portanto
x^{2}=\frac{a^{4}}{a^{2}+b^{2}}\quad\Rightarrow\quad x=\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},
tomando a raiz positiva porque escolhemos x\ge0.

Passo 5

Calcular y correspondente usando a equação da elipse. Substituindo x^{2} em \displaystyle \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}=1:
\frac{x^{2}}{a^{2}}=\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}} \quad\Rightarrow\quad 1-\frac{x^{2}}{a^{2}}=1-\frac{a^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}.
Assim
y^{2}=b^{2}\Bigl(1-\frac{x^{2}}{a^{2}}\Bigr)=b^{2}\cdot\frac{b^{2}}{a^{2}+b^{2}}=\frac{b^{4}}{a^{2}+b^{2}}.
Portanto, tomando y\ge0,
y=\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.

Passo 6

Calcular o perímetro máximo correspondente. O perímetro quando x e y têm esses valores é
P_{\max}=4\Bigl(x+y\Bigr) =4\Biggl(\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}+\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\Biggr) =4\cdot\frac{a^{2}+b^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}.
Simplificando a fração:
P_{\max}=4\sqrt{a^{2}+b^{2}}.

Passo 7

Verificar que é de fato máximo (não mínimo nem ponto espúrio). A função P(x) é contínua em [0,a] e diferenciável em (0,a), logo o máximo em [0,a] ocorre em pontos críticos internos ou nas extremidades x=0 ou x=a. Avaliando nas extremidades:
P(0)=4\bigl(0+b\bigr)=4b,\qquad P(a)=4\bigl(a+0\bigr)=4a.
Comparando com P_{\max}=4\sqrt{a^{2}+b^{2}}, nota-se que \sqrt{a^{2}+b^{2}}\ge a e \sqrt{a^{2}+b^{2}}\ge b, com igualdade somente se uma das variáveis for zero (caso degenerado). Portanto P_{\max}\ge 4a e P_{\max}\ge 4b, com estrita desigualdade em casos não degenerados. Assim a solução interior encontrada é o máximo global do perímetro no intervalo considerado. (Além disso, a etapa de quadratura não introduziu solução espúria, pois o sinal positivo de ambos os lados foi respeitado.)

Resposta

Vértices do retângulo de maior perímetro: \bigl(\pm\frac{a^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}},\;\pm\frac{b^{2}}{\sqrt{a^{2}+b^{2}}}\bigr)
Perímetro máximo: P_{\max}=4\sqrt{a^{2}+b^{2}}

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