Em um tanque cônico entra água a uma taxa de
. Se a altura do tanque é de
e o raio da base é
, qual a velocidade de ascenção da água no instante em que o nível encontra-se na metade da altura?
Passo 1
O enunciado pede a velocidade de subida do nível de água no instante em que o nível está na metade da altura do tanque. Dados fornecidos pelo enunciado:
- Taxa de entrada de água:
litros por minuto. - Altura total do cone:
m. - Raio da base do cone:
m. - Queremos
quando a altura do líquido vale metade da altura do tanque, ou seja m.
Passo 2
Vamos primeiro colocar todas as grandezas no mesmo sistema de unidades (metros e metros cúbicos), porque as fórmulas geométricas que usaremos usam metros e metros cúbicos. Conversão de litros para metros cúbicos:
Portanto a taxa volumétrica dada em metros cúbicos por minuto é
Passo 3
A água no cone forma um cone similar cujo volume
em função da altura
é dado pela fórmula do volume de um cone:
onde
é o raio da superfície livre da água (variável) e
é a altura da coluna de água (variável). Ambos dependem do tempo, então
,
,
.
Passo 4
Precisamos eliminar
e escrever
apenas em função de
. Usamos semelhança de triângulos entre o cone total (raio
m, altura
m) e o cone da água (raio
, altura
):
Logo
Substituindo em
:
Explicação didática: substituímos
por
porque a forma do pequeno cone é geometricamente igual ao grande, só que em escala; isso reduz o número de variáveis para podermos relacionar
e
diretamente.
Passo 5
Agora diferenciamos a expressão
em relação ao tempo
. Como
e
dependem de
, usamos a regra da cadeia:
Simplificando o fator
:
Pequena aula: derivamos
obtendo
e multiplicamos pelo coeficiente
. Isso é a aplicação direta da regra da potência e da regra da cadeia.
Passo 6
Isolamos
:
Agora substituímos
(do Passo 2) e
(metade da altura do tanque):
Calculamos passo a passo:
logo
Fazendo uma aproximação numérica (útil para intuir a ordem de grandeza):
o que equivale a cerca de
(multiplicando por
para passar para milímetros por minuto).