Em um tanque cônico entra água a uma taxa de 3 l i t r o s / \min. Se a altura do tanque é de 20 m e o raio da base é 10 m, qual a velocidade de ascenção da água no instante em que o nível encontra-se na metade da altura?

Passo 1

O enunciado pede a velocidade de subida do nível de água no instante em que o nível está na metade da altura do tanque. Dados fornecidos pelo enunciado:
  • Taxa de entrada de água: 3 litros por minuto.
  • Altura total do cone: 20 m.
  • Raio da base do cone: 10 m.
  • Queremos \dfrac{dh}{dt} quando a altura do líquido h vale metade da altura do tanque, ou seja h=10 m.

Passo 2

Vamos primeiro colocar todas as grandezas no mesmo sistema de unidades (metros e metros cúbicos), porque as fórmulas geométricas que usaremos usam metros e metros cúbicos. Conversão de litros para metros cúbicos:
1\\ \text{litro} = 1\times 10^{-3}\\ \text{m}^3.
Portanto a taxa volumétrica dada em metros cúbicos por minuto é
\frac{dV}{dt} = 3\\ \text{L/min} = 3\times 10^{-3}\\ \text{m}^3/\text{min} = 0,003\\ \text{m}^3/\text{min}.

Passo 3

A água no cone forma um cone similar cujo volume V em função da altura h é dado pela fórmula do volume de um cone:
V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h,
onde r é o raio da superfície livre da água (variável) e h é a altura da coluna de água (variável). Ambos dependem do tempo, então V=V(t), r=r(t), h=h(t).

Passo 4

Precisamos eliminar r e escrever V apenas em função de h. Usamos semelhança de triângulos entre o cone total (raio R=10 m, altura H=20 m) e o cone da água (raio r, altura h):
\frac{r}{h}=\frac{R}{H}=\frac{10}{20}=\frac{1}{2}.
Logo
r=\frac{h}{2}.
Substituindo em V:
V=\frac{1}{3}\pi\left(\frac{h}{2}\right)^{2}h
V=\frac{1}{3}\pi\frac{h^{2}}{4}h
V=\frac{\pi}{12}h^{3}.
Explicação didática: substituímos r por \tfrac{h}{2} porque a forma do pequeno cone é geometricamente igual ao grande, só que em escala; isso reduz o número de variáveis para podermos relacionar V e h diretamente.

Passo 5

Agora diferenciamos a expressão V=\dfrac{\pi}{12}h^{3} em relação ao tempo t. Como V e h dependem de t, usamos a regra da cadeia:
\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{12}\cdot 3h^{2}\cdot\frac{dh}{dt}.
Simplificando o fator 3:
\frac{dV}{dt}=\frac{\pi}{4}\,h^{2}\,\frac{dh}{dt}.
Pequena aula: derivamos h^{3} obtendo 3h^{2} e multiplicamos pelo coeficiente \dfrac{\pi}{12}. Isso é a aplicação direta da regra da potência e da regra da cadeia.

Passo 6

Isolamos \dfrac{dh}{dt}:
\frac{dh}{dt}=\frac{\dfrac{dV}{dt}}{\dfrac{\pi}{4}\,h^{2}}.
Agora substituímos \dfrac{dV}{dt}=0,003\\ \text{m}^3/\text{min} (do Passo 2) e h=10\\ \text{m} (metade da altura do tanque):
\frac{dh}{dt}=\frac{0,003}{\dfrac{\pi}{4}\cdot 10^{2}}.
Calculamos passo a passo:
10^{2}=100,
\dfrac{\pi}{4}\cdot 100 = 25\pi,
logo
\frac{dh}{dt}=\frac{0,003}{25\pi}=\frac{3/1000}{25\pi}=\frac{3}{25000\pi}\\ \text{m/min}.
Fazendo uma aproximação numérica (útil para intuir a ordem de grandeza):
\frac{3}{25000\pi}\approx 3,82\times 10^{-5}\\ \text{m/min},
o que equivale a cerca de 0,038\\ \text{mm/min} (multiplicando por 1000 para passar para milímetros por minuto).

Resposta

\displaystyle \frac{dh}{dt}=\frac{3}{25000\pi}\\ \text{m/min}\approx 3,82\times 10^{-5}\\ \text{m/min}

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