Para que valores de a e b a parábola y=a x^{2}+b tangencia a reta y=x.

Passo 1

O enunciado pede: “Para que valores de a e b a parábola y=a x^{2}+b tangencia a reta y=x?”\n
Informações dadas:
  • A parábola é y=a x^{2}+b, com a e b desconhecidos.
  • A reta é y=x.
  • Queremos os valores de a e b para que essas duas curvas se toquem (tangenciem) — isto é, tenham exatamente um ponto em comum onde se “encostam”.

Passo 2

Escolha do método e por quê.\n
Vou usar um método puramente algébrico (analisar a equação de interseção e exigir que tenha raiz dupla). Motivo: é o método mais básico e direto — transforma o problema numa equação quadrática e usa o discriminante para exigir tangência. Alternativa (equivalente) seria usar derivadas e exigir que as inclinações sejam iguais no ponto de contato; eu mostrarei essa equivalência mais adiante para dar intuição.

Passo 3

Escrever a condição de interseção (igualar as duas ordenadas).\n
As curvas se intersectam quando suas y são iguais, isto é:
a x^{2}+b = x.
Passando todos os termos para um lado obtemos a equação quadrática
a x^{2} - x + b = 0.
Nessa equação, x é a(s) abscissa(s) dos pontos de interseção; a e b aparecem como parâmetros.

Passo 4

Entender o que significa “tangenciar” em termos da equação quadrática.\n
Se a parábola e a reta tangenciam, elas se intersectam em exatamente um ponto — na linguagem das raízes, a equação quadrática acima deve ter uma raiz de multiplicidade 2 (uma raiz dupla). Para uma quadrática p x^{2}+q x + r = 0, isso ocorre quando o discriminante \Delta é zero, onde
\Delta = q^{2} - 4 p r.
Aqui p=a, q=-1, r=b. Então o discriminante desta equação é
\Delta = (-1)^{2} - 4 \cdot a \cdot b = 1 - 4ab.
A condição de raiz dupla (tangência) é \Delta = 0.

Passo 5

Impor \Delta=0 e resolver para relacionar a e b.\n
Da condição \Delta=0 temos
1 - 4ab = 0.
Isolando ab,
ab = \frac{1}{4}.
Desse produto obtém-se uma relação entre a e b. Podemos escrever b em função de a (desde que a\neq 0):
b = \frac{1}{4a}.

Passo 6

Verificar a necessidade de a\neq 0 e comentar o caso a=0.\n
Se a=0 então a “parábola” vira a reta horizontal y=b. Essa reta intersecta y=x em um único ponto x=b, mas as inclinações são diferentes (0 versus 1), logo não é tangência no sentido de “mesma inclinação”. Além disso, na dedução algébrica dividimos por a para obter b=\tfrac{1}{4a}, o que exige a\neq 0. Portanto descartamos a=0.

Passo 7

Mostrar a equivalência com o método das derivadas (intuição / verificação).\n
A derivada da parábola é y' = 2a x. A derivada da reta é y' = 1. Em um ponto de tangência as inclinações devem coincidir, então
2a x = 1 \quad\Rightarrow\quad x = \frac{1}{2a}.
No mesmo ponto a ordenada deve ser igual: a x^{2}+b = x. Substituindo x=\tfrac{1}{2a} obtemos
b = x - a x^{2} = \frac{1}{2a} - a\left(\frac{1}{4a^{2}}\right) = \frac{1}{2a} - \frac{1}{4a} = \frac{1}{4a},
que é exatamente a relação encontrada pelo discriminante. Então os dois métodos são consistentes.

Passo 8

Exemplos numéricos rápidos para fixar a ideia.\n
  • Se a=1 então b=\tfrac{1}{4}. A tangência ocorre em x=\tfrac{1}{2}. Conferindo: 1\cdot(\tfrac{1}{2})^{2}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{4}+\tfrac{1}{4}=\tfrac{1}{2}, que é y=x naquele ponto, e a inclinação é 2a x = 2\cdot1\cdot\tfrac{1}{2}=1. Tudo OK.\n
  • Se a=-1 então b=-\tfrac{1}{4}. A tangência ocorre em x=-\tfrac{1}{2}. Conferindo: -1\cdot(\!-\tfrac{1}{2}\!)^{2}-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{4}-\tfrac{1}{4}=-\tfrac{1}{2}, igual a x, e inclinação 2a x=2(-1)(-\tfrac{1}{2})=1.

Resposta

\displaystyle b=\frac{1}{4a},\quad a\neq 0

Exercícios relacionados