Para que valores de
e
a parábola
tangencia a reta
.
Passo 1
O enunciado pede: “Para que valores de
e
a parábola
tangencia a reta
?”\n
Informações dadas:
Informações dadas:
- A parábola é
, com e desconhecidos. - A reta é
. - Queremos os valores de
e para que essas duas curvas se toquem (tangenciem) — isto é, tenham exatamente um ponto em comum onde se “encostam”.
Passo 2
Escolha do método e por quê.\n
Vou usar um método puramente algébrico (analisar a equação de interseção e exigir que tenha raiz dupla). Motivo: é o método mais básico e direto — transforma o problema numa equação quadrática e usa o discriminante para exigir tangência. Alternativa (equivalente) seria usar derivadas e exigir que as inclinações sejam iguais no ponto de contato; eu mostrarei essa equivalência mais adiante para dar intuição.
Vou usar um método puramente algébrico (analisar a equação de interseção e exigir que tenha raiz dupla). Motivo: é o método mais básico e direto — transforma o problema numa equação quadrática e usa o discriminante para exigir tangência. Alternativa (equivalente) seria usar derivadas e exigir que as inclinações sejam iguais no ponto de contato; eu mostrarei essa equivalência mais adiante para dar intuição.
Passo 3
Escrever a condição de interseção (igualar as duas ordenadas).\n
As curvas se intersectam quando suas são iguais, isto é:
As curvas se intersectam quando suas
Passando todos os termos para um lado obtemos a equação quadrática
Nessa equação,
é a(s) abscissa(s) dos pontos de interseção;
e
aparecem como parâmetros.
Passo 4
Entender o que significa “tangenciar” em termos da equação quadrática.\n
Se a parábola e a reta tangenciam, elas se intersectam em exatamente um ponto — na linguagem das raízes, a equação quadrática acima deve ter uma raiz de multiplicidade 2 (uma raiz dupla). Para uma quadrática , isso ocorre quando o discriminante
é zero, onde
Se a parábola e a reta tangenciam, elas se intersectam em exatamente um ponto — na linguagem das raízes, a equação quadrática acima deve ter uma raiz de multiplicidade 2 (uma raiz dupla). Para uma quadrática
Aqui
,
,
. Então o discriminante desta equação é
A condição de raiz dupla (tangência) é
.
Passo 5
Impor
e resolver para relacionar
e
.\n
Da condição temos
Da condição
Isolando
,
Desse produto obtém-se uma relação entre
e
. Podemos escrever
em função de
(desde que
):
Passo 6
Verificar a necessidade de
e comentar o caso
.\n
Se então a “parábola” vira a reta horizontal
. Essa reta intersecta
em um único ponto
, mas as inclinações são diferentes (0 versus 1), logo não é tangência no sentido de “mesma inclinação”. Além disso, na dedução algébrica dividimos por
para obter
, o que exige
. Portanto descartamos
.
Se
Passo 7
Mostrar a equivalência com o método das derivadas (intuição / verificação).\n
A derivada da parábola é . A derivada da reta é
. Em um ponto de tangência as inclinações devem coincidir, então
A derivada da parábola é
No mesmo ponto a ordenada deve ser igual:
. Substituindo
obtemos
que é exatamente a relação encontrada pelo discriminante. Então os dois métodos são consistentes.
Passo 8
Exemplos numéricos rápidos para fixar a ideia.\n
- Se
então . A tangência ocorre em . Conferindo: , que é naquele ponto, e a inclinação é . Tudo OK.\n - Se
então . A tangência ocorre em . Conferindo: , igual a , e inclinação .