Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma concentração de 2 e^{-\frac{1}{100} t} gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante t, onde t é contado a partir do início do processo.
(b) Calcule a concentração de sal no tanque em t=10 minutos após o início do processo.

Passo 1

O enunciado descreve um tanque de volume constante de 100 L, inicialmente com concentração de 1 g/L (logo A(0)=100 g de sal). Entra uma solução a 1 L/min cuja concentração varia no tempo segundo 2e^{-t/100} g/L, e sai a mesma vazão, com mistura completa. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem para a quantidade de sal A(t).

Passo 2

Montamos a equação de balanço de massa:
\frac{dA}{dt} = (\text{vazão in})\cdot c_{\text{in}}(t) \;-\;(\text{vazão out})\cdot c_{\text{tanque}}(t)ãã
Logo,
\frac{dA}{dt} = 1\cdot 2e^{-t/100} \;-\; 1\cdot \frac{A}{100} \quad,\quad A(0)=100.

Passo 3

Reconhecemos a EDO linear
\frac{dA}{dt} + \frac{1}{100}A = 2e^{-t/100}.
O fator integrante é
\mu(t)=e^{\int \frac{1}{100}\,dt}=e^{t/100}.
Multiplicando a EDO por \mu(t) obtemos
\frac{d}{dt}\bigl(Ae^{t/100}\bigr)=2.
Integrando,
Ae^{t/100}=2t + C.
Como A(0)=100, vem C=100, logo
A(t)=e^{-t/100}\bigl(2t+100\bigr).

Passo 4

A concentração no tanque é
c(t)=\frac{A(t)}{100}.
Em t=10 minutos,
c(10) =\frac{e^{-10/100}(2\cdot10+100)}{100} =\frac{120}{100}\,e^{-0,1} =1{,}2\,e^{-0,1}\text{ g/L}.

Resposta

(a) A(t)=e^{-t/100}(2t+100) g.
(b) c(10)=1{,}2\,e^{-0,1}\approx1{,}086 g/L.

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