Um tanque contém 100 litros de uma solução a uma concentração de 1 grama por litro. Uma solução com uma concentração de
gramas por litro entra no tanque a uma taxa constante de 1 litro por minuto, enquanto que a solução bem misturada sai à mesma taxa.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
, onde
é contado a partir do início do processo.
(b) Calcule a concentração de sal no tanque em
minutos após o início do processo.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em cada instante
(b) Calcule a concentração de sal no tanque em
Passo 1
O enunciado descreve um tanque de volume constante de
L, inicialmente com concentração de
g/L (logo
g de sal). Entra uma solução a
L/min cuja concentração varia no tempo segundo
g/L, e sai a mesma vazão, com mistura completa. O conteúdo aqui é equação diferencial linear de primeira ordem para a quantidade de sal
.
Passo 2
Montamos a equação de balanço de massa:
Logo,
Passo 3
Reconhecemos a EDO linear
O fator integrante é
Multiplicando a EDO por
obtemos
Integrando,
Como
, vem
, logo
Passo 4
A concentração no tanque é
Em
minutos,
Resposta
(a)
g.
(b) g/L.
(b)