- Num tanque existe
de uma salmora com 30 kg de sal. No instante
, uma válvula
é aberta, entrando
de uma solução de salmoura a uma concentração de
. Em
, a válvula
é fechada e a uma segunda válvula
é aberta, entrando
de salmoura a uma concentração de
. No tanque existe uma válvula de saída
, que esvazia o tanque com vazão de
, mantém o constante o volume do tanque.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em um instantes
.
(b) Encontre a concentração de sal quando
tende ao infinito.
(a) Determine a quantidade de sal no tanque em um instantes
(b) Encontre a concentração de sal quando
Passo 1
O enunciado descreve um problema de mistura num tanque de volume constante
. Inicialmente há
de sal. De
a
entra solução a
com concentração
e sai à mesma vazão, mantendo o volume. Para
entra solução a
com concentração
e sai também a
. O conteúdo da matéria é EDO linear de primeira ordem aplicada a processos de mistura. Vamos montar e resolver as EDOs em cada intervalo.
Passo 2
Para
denotemos por
a massa de sal (em kg). A vazão de entrada de massa é
a saída remove sal com concentração
a
, ou seja
Logo a EDO é
Trata-se de uma EDO linear cuja solução geral é soma de solução estacionária
e termo transiente.
Passo 3
Resolvendo por fator integrante ou pelo método standard, obtemos
Como
, tem-se
. Portanto, para
:
Em particular, no instante
:
Passo 4
Para
a vazão de entrada de massa passa a ser
e a saída continua
. A nova EDO é
com condição inicial
já calculado. A solução geral é
onde o estado estacionário é
. Para achar
, impomos
, logo
Portanto, para
:
Passo 5
Quando
no segundo regime o termo exponencial decai a zero e a massa de sal tende a
A concentração correspondente é
Resposta
(a) A quantidade de sal é dada em função de
(b) A concentração de sal quando
.