1. Considere um circuito elétrico em série L C com L=1 H (henries), C=0.01 F (farads) e bateria fornecendo E=10 V (volts). Suponha que o circuito está inicialmente passivo (desligado e sem carga). No instante t=0 o interruptor é fechado, e no instante t=1 ele é aberto e deixado aberto.
    (a) Mostre que este circuito satisfaz o problema de valor inicial
\left\{\begin{array}{c} Q^{\prime \prime}+100 Q=10-10 u_{1}(t) \\\ Q(0)=0=Q^{\prime}(0) \end{array}\right.
(b) Encontre a corrente I(t)=\frac{d Q}{d t} no circuito no instante $t.

Passo 1

O enunciado descreve um circuito série L\!-\!C com L=1\:\mathrm H, C=0,01\:\mathrm F e fonte E=10\:\mathrm V. O interruptor fecha em t=0 e abre em t=1, deixando o circuito livre. Vamos usar a Lei de Kirchhoff de tensões e a relação Q=C\,V_C para obter a equação diferencial, e em seguida resolver para a carga Q(t) e a corrente I(t)=Q'(t).

Passo 2

Pela Lei de Kirchhoff de tensões no loop, para todo t,
L\,\frac{dI}{dt} + V_C = E - E\,u_{1}(t),
onde u_{1}(t) é o degrau unitário em t=1. Como I=Q' e V_C = \frac{Q}{C}, e com L=1, C=0,01, E=10, obtemos
1\cdot Q'' + \frac{1}{0,01}\,Q \;=\;10 - 10\,u_{1}(t) \quad\Longrightarrow\quad Q'' + 100\,Q = 10 - 10\,u_{1}(t).
As condições iniciais são Q(0)=0 (capacitor descarregado) e I(0)=Q'(0)=0 (corrente nula). Assim chegamos ao PVI
\begin{cases} Q'' +100\,Q = 10 -10\,u_{1}(t),\\\ Q(0)=0,\quad Q'(0)=0. \end{cases}

Passo 3

Para 0\le t<1 temos u_{1}(t)=0, a EDO é
Q'' +100\,Q =10.
Procuramos solução geral Q=Q_h+Q_p.
– Homogênea: Q_h = A\cos(10t)+B\sin(10t).
– Particular constante: Q_p = \frac{10}{100}=0,1.
Logo
Q_1(t) = 0,1 + A\cos(10t)+B\sin(10t).
Impondo Q_1(0)=0 e Q'_1(0)=0:
Q_1(0)=0,1+A=0\;\Rightarrow\;A=-0,1, \quad Q'_1(t)= -10A\sin(10t)+10B\cos(10t) \;\Rightarrow\;Q'_1(0)=10B=0\;\Rightarrow\;B=0.
Assim
Q_1(t)=0,1\bigl(1-\cos(10t)\bigr), \quad I_1(t)=Q'_1(t)=0,1\cdot10\,\sin(10t)=\sin(10t).

Passo 4

Para t>1 o degrau vale u_{1}(t)=1, a EDO fica homogênea:
Q'' +100\,Q = 0.
A solução geral é
Q_2(t)=C\cos(10t)+D\sin(10t).
Impondo continuidade em t=1:
Q_2(1)=Q_1(1)=0,1\bigl(1-\cos10\bigr), \quad Q'_2(1)=Q'_1(1)=\sin10.
Dessas duas equações resolve-se para C e D, encontrando
C=0,1\bigl(\cos10-1\bigr), \quad D=0,1\sin10.
Logo
Q_2(t)=0,1\bigl(\cos10-1\bigr)\cos(10t)+0,1\sin10\,\sin(10t),
e
I_2(t)=Q'_2(t) =-\bigl(\cos10-1\bigr)\sin(10t)+\sin10\,\cos(10t).

Resposta

A corrente no circuito é
I(t)= \begin{cases} \sin(10t),&0\le t<1,\\\\ -\bigl(\cos 10 - 1\bigr)\,\sin(10t)+\sin 10\,\cos(10t),&t>1. \end{cases}

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