Um tanque fechado contém ar comprimido a uma pressão manométrica de 450 kPa . A pressão atmosférica local é de 95 kPa .
Se um manômetro de tubo em U com mercúrio for conectado ao tanque, qual será a diferença de altura entre as colunas de mercúrio (em mm), considerando a densidade do mercúrio como 13.600 \mathrm{~kg} / \mathrm{m}^{3} ?

Passo 1

O enunciado fornece e pede o seguinte (vou listar exatamente os dados que temos):
  • Pressão manométrica do tanque: \,450\\ \text{kPa}.
  • Pressão atmosférica local: \,95\\ \text{kPa}.
  • Densidade do mercúrio: \,\rho_{Hg}=13{,}600\\ \mathrm{kg/m^{3}}.
  • Pedem a diferença de altura entre as colunas de mercúrio numa coluna em U, em milímetros.
Pergunta a responder: qual é a diferença de altura \,h (em mm) entre as colunas de mercúrio quando um lado do U está ligado ao tanque e o outro está aberto à atmosfera?

Passo 2

Entendendo o princípio físico (a “aula rápida”):
Num manômetro em U, em equilíbrio, dois pontos no mesmo nível dentro do mesmo fluido têm a mesma pressão. Isso leva à relação entre a diferença de pressão entre as extremidades e a coluna do fluido:
\Delta P = \rho g h,
onde:
  • \Delta P é a diferença de pressão entre o lado do tanque e o lado atmosférico (em Pa),
  • \rho é a densidade do fluido do manômetro (aqui o mercúrio), em \mathrm{kg/m^3},
  • g é a aceleração da gravidade (em \mathrm{m/s^2}),
  • h é a diferença de altura entre as colunas (em m).
Explicação simples: a pressão maior “empurra” o mercúrio por um lado e faz a coluna do outro lado subir; a diferença de altura equilibrada multiplica a densidade vezes g e iguala a diferença de pressão.

Passo 3

Relacionando com os dados: a pressão manométrica dada \,450\\ \text{kPa} é precisamente a diferença entre a pressão do tanque e a pressão atmosférica:
\Delta P = P_{\text{tanque}} - P_{\text{atm}} = 450\\ \text{kPa}.
Portanto podemos usar diretamente \Delta P=\rho_{Hg} g h para achar h. Escrevendo a fórmula para h:
h=\frac{\Delta P}{\rho_{Hg}\, g}.
Aqui vou usar g=9{,}81\\ \mathrm{m/s^2} (valor padrão).

Passo 4

Converter unidades e calcular passo a passo:
\Delta P = 450\\ \text{kPa} = 450{,}000\\ \mathrm{Pa}.
Calcular \rho_{Hg} g:
\rho_{Hg} g = 13{,}600 \times 9{,}81 = 133{,}416\\ \mathrm{N/m^3}.
Agora:
h = \frac{450{,}000}{133{,}416}\\ \mathrm{m} \approx 3{,}373009\\ \mathrm{m}.
Converter para milímetros (multiplicar por 1000):
h \approx 3{,}373{,}009\\ \mathrm{m} \times 1000 = 3{,}373{,}009\\ \mathrm{mm} \approx 3373\\ \mathrm{mm}.
Observação curta e útil: a pressão atmosférica numérica ( 95\\ \text{kPa}) não foi necessária no cálculo porque a pressão manométrica já é a diferença em relação à atmosfera. Também vale notar que o mercúrio é muito denso, por isso a coluna necessária para 450 kPa é grande (vários metros).

Passo 5

Verificação rápida de ordem de grandeza: 450 kPa é cerca de 4{,}6 atmosferas (1 atm \approx101{,}3 kPa), e como mercúrio tem densidade alta, obter alguns metros faz sentido; o valor obtido (aprox. 3{,}37 m = 3373 mm) é consistente.

Resposta

3373\\ \mathrm{mm}

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