5.56 Duas placas do mesmo material e espessura
estão em diferentes temperaturas iniciais
e
, sendo
. Suas superficies são subitamente colocadas em contato. As superfícies externas das duas placas estão isoladas.
(a) Seja uma temperatura adimensional definida por
Desprezando a resistência térmica de contato na interface entre as placas, quais são as temperaturas adimensionais no estado estacionário de cada uma das duas placas,
e
? Qual é a temperatura adimensional na interface
em qualquer tempo?
(b) Um coeficiente global de transferência de calor efetivo entre as duas placas pode ser definido com base nas temperaturas médias espaciais adimensionais e instantâneas das placas,
. Observando que a taxa de transferência de calor adimensional para ou a partir de uma das duas placas pode ser representada por
, determine uma expressão para
, para
.
(a) Seja uma temperatura adimensional definida por
(b) Um coeficiente global de transferência de calor efetivo entre as duas placas pode ser definido com base nas temperaturas médias espaciais adimensionais e instantâneas das placas,
Passo 1
O enunciado dá:
- Duas placas idênticas (mesmo material, mesma espessura
) colocadas em contato pelas superfícies internas; as superfícies externas estão isoladas. - Temperaturas iniciais: placa 1 com
e placa 2 com , sendo . - Definição da temperatura adimensional
O que é pedido:
(a) Determinar as temperaturas adimensionais no estado estacionário de cada placa, e
, e a temperatura adimensional na interface
para qualquer tempo (desprezando resistência de contato).
(a) Determinar as temperaturas adimensionais no estado estacionário de cada placa,
(b) Definir um coeficiente global adimensional
onde
. Determinar uma expressão para
válida para
.
Observações: não há perda de calor para o exterior (bordas isoladas) e as duas placas têm propriedades idênticas.
Passo 2
(a) Estado estacionário (t
).
Como não há troca de calor com o exterior e as placas têm mesma massa térmica (mesmo material, mesma espessura e mesma área), a energia total é conservada e ambas atingirão a mesma temperatura final . Conservação de energia dá:
Como não há troca de calor com o exterior e as placas têm mesma massa térmica (mesmo material, mesma espessura e mesma área), a energia total é conservada e ambas atingirão a mesma temperatura final
onde
e
são massa da placa e calor específico (cancelam). Assim
Convertendo para a escala adimensional
, obtemos o estado estacionário adimensional:
Passo 3
(a) Temperatura na interface para qualquer tempo.
Defino a função diferença em relação à média:
Defino a função diferença em relação à média:
A condição inicial é
no lado da placa 1 e
no lado da placa 2, ou seja
é função ímpar em relação à interface. As equações de condução são lineares e as propriedades são as mesmas dos dois lados; as condições nas faces externas são Neumann nulas (isolamento) simétricas. Portanto a solução mantém a simetria ímpar para
em todo
, o que implica
Convertendo para a escala adimensional, a temperatura adimensional na interface é
Passo 4
(b) Relacionando
,
,
e as temperaturas médias.
Escolhemos como a quantidade de calor que saiu da placa quente (placa 2) até o tempo
. A escolha natural de referência é
Escolhemos
porque esse é o calor total que será transferido no regime final (quando as placas alcançam o equilíbrio comum):
varia de
a
. Com isso:
onde
é a temperatura média adimensional espacial instantânea da placa 2. Pelo mesmo motivo
Diferenciando em relação a
:
Além disso o denominador do
pode ser escrito usando
:
Portanto
Agora precisamos de
e de sua derivada.
Passo 5
Obtenção de
por série (expansão em autovetores).
Mapeio o problema para o segmento (com
); a placa 1 ocupa
com
inicialmente e a placa 2 ocupa
com
inicialmente. As condições nas extremidades
e
são isoladas (Neumann nula). Expandimos a condição inicial na série de funções próprias
(Neumann em
e
). Obtemos os coeficientes:
Mapeio o problema para o segmento
a média no domínio inteiro (coeficiente
):
Para
:
Integração dá
Como
para
par, só termos ímpares aparecem. Escrevendo
:
Passo 6
Cálculo de
.
A solução temporal por modos (com número de Fourier ) é
A solução temporal por modos (com número de Fourier
A média sobre a metade esquerda (placa 1) é
Agora derivamos em relação a
. A derivada simplifica elegantemente (os
cancelam):
Usando
obtemos
Passo 7
Expressão de
.
O denominador pode ser escrito pela série:
O denominador
Formando a razão
temos cancelamentos e uma forma compacta:
Passo 8
Aproximação para
.
Para não muito pequeno os termos de ordem superior na soma decaem muito rápido porque os expoentes contêm
. Para
o termo
(com fator
) domina tanto no numerador quanto no denominador, de modo que podemos aproximar tomando apenas
:
Para
Valor numérico: