5.56 Duas placas do mesmo material e espessura L estão em diferentes temperaturas iniciais T_{i, 1} e T_{i, 2}, sendo T_{i, 2}>T_{i, 1}. Suas superficies são subitamente colocadas em contato. As superfícies externas das duas placas estão isoladas.
(a) Seja uma temperatura adimensional definida por T^{*}(F o) \equiv(T- \left.T_{i, 1}\right) /\left(T_{i, 2}-T_{i, 1}\right)> Desprezando a resistência térmica de contato na interface entre as placas, quais são as temperaturas adimensionais no estado estacionário de cada uma das duas placas, T_{\mathrm{ce}, 1^{1}}^{*} e T_{\mathrm{ce}, 2^{2}}^{*} ? Qual é a temperatura adimensional na interface T_{\text {int }}^{*} em qualquer tempo?
(b) Um coeficiente global de transferência de calor efetivo entre as duas placas pode ser definido com base nas temperaturas médias espaciais adimensionais e instantâneas das placas, U_{\mathrm{cf}}^{*} \equiv q^{*} /\left(\bar{T}_{2}^{*}-\bar{T}_{1}^{*}\right). Observando que a taxa de transferência de calor adimensional para ou a partir de uma das duas placas pode ser representada por q^{*}= d\left(Q / Q_{o}\right) / d F o, determine uma expressão para U_{\mathrm{ef}}^{*}, para F O>0,2.

Passo 1

O enunciado dá:
  • Duas placas idênticas (mesmo material, mesma espessura L) colocadas em contato pelas superfícies internas; as superfícies externas estão isoladas.
  • Temperaturas iniciais: placa 1 com T_{i,1} e placa 2 com T_{i,2}, sendo T_{i,2}>T_{i,1}.
  • Definição da temperatura adimensional
T^{*}(\mathrm{Fo}) \equiv \frac{T-T_{i,1}}{T_{i,2}-T_{i,1}}.
O que é pedido:
(a) Determinar as temperaturas adimensionais no estado estacionário de cada placa, T_{\mathrm{ce},1}^{*} e T_{\mathrm{ce},2}^{*}, e a temperatura adimensional na interface T_{\text{int}}^{*} para qualquer tempo (desprezando resistência de contato).
(b) Definir um coeficiente global adimensional
U_{\mathrm{ef}}^{*}\equiv\frac{q^{*}}{\bar{T}_{2}^{*}-\bar{T}_{1}^{*}},
onde q^{*}=d\!\left(Q/Q_{0}\right)/d\mathrm{Fo}. Determinar uma expressão para U_{\mathrm{ef}}^{*} válida para \mathrm{Fo}>0{,}2.
Observações: não há perda de calor para o exterior (bordas isoladas) e as duas placas têm propriedades idênticas.

Passo 2

(a) Estado estacionário (t \to\infty).
Como não há troca de calor com o exterior e as placas têm mesma massa térmica (mesmo material, mesma espessura e mesma área), a energia total é conservada e ambas atingirão a mesma temperatura final T_{\infty}. Conservação de energia dá:
m c \,T_{i,1} + m c \,T_{i,2} = 2 m c \,T_{\infty}
onde m e c são massa da placa e calor específico (cancelam). Assim
T_{\infty}=\frac{T_{i,1}+T_{i,2}}{2}.
Convertendo para a escala adimensional \,T^{*}=\dfrac{T-T_{i,1}}{T_{i,2}-T_{i,1}}\,, obtemos o estado estacionário adimensional:
T_{\mathrm{ce},1}^{*}=T_{\mathrm{ce},2}^{*}=\frac{T_{\infty}-T_{i,1}}{T_{i,2}-T_{i,1}}=\frac{1}{2}.

Passo 3

(a) Temperatura na interface para qualquer tempo.
Defino a função diferença em relação à média:
\psi(x,t)\equiv T(x,t)-\frac{T_{i,1}+T_{i,2}}{2}.
A condição inicial é \psi(x,0)=-\dfrac{T_{i,2}-T_{i,1}}{2} no lado da placa 1 e +\dfrac{T_{i,2}-T_{i,1}}{2} no lado da placa 2, ou seja \psi(x,0) é função ímpar em relação à interface. As equações de condução são lineares e as propriedades são as mesmas dos dois lados; as condições nas faces externas são Neumann nulas (isolamento) simétricas. Portanto a solução mantém a simetria ímpar para \psi em todo t, o que implica
\psi(0,t)=0\quad\Rightarrow\quad T(0,t)=\frac{T_{i,1}+T_{i,2}}{2}.
Convertendo para a escala adimensional, a temperatura adimensional na interface é
T_{\text{int}}^{*}=\frac{1}{2}\quad\text{para qualquer }t.

Passo 4

(b) Relacionando Q, Q_{0}, q^{*} e as temperaturas médias.
Escolhemos Q como a quantidade de calor que saiu da placa quente (placa 2) até o tempo t. A escolha natural de referência é
Q_{0}\equiv m c\frac{T_{i,2}-T_{i,1}}{2},
porque esse é o calor total que será transferido no regime final (quando as placas alcançam o equilíbrio comum): Q varia de 0 a Q_{0}. Com isso:
\frac{Q}{Q_{0}}=\frac{m c\,(T_{i,2}-\bar{T}_{2})}{m c\,(T_{i,2}-T_{i,1})/2}=2\left(1-\bar{T}_{2}^{*}\right),
onde \bar{T}_{2}^{*} é a temperatura média adimensional espacial instantânea da placa 2. Pelo mesmo motivo
\frac{Q}{Q_{0}}=2\bar{T}_{1}^{*}.
Diferenciando em relação a \mathrm{Fo}:
q^{*}\equiv\frac{d(Q/Q_{0})}{d\mathrm{Fo}}=2\frac{d\bar{T}_{1}^{*}}{d\mathrm{Fo}}=-2\frac{d\bar{T}_{2}^{*}}{d\mathrm{Fo}}.
Além disso o denominador do U_{\mathrm{ef}}^{*} pode ser escrito usando \bar{T}_{2}^{*}=1-\bar{T}_{1}^{*}:
\bar{T}_{2}^{*}-\bar{T}_{1}^{*}=1-2\bar{T}_{1}^{*}.
Portanto
U_{\mathrm{ef}}^{*}=\frac{q^{*}}{\bar{T}_{2}^{*}-\bar{T}_{1}^{*}}=\frac{2\,\dfrac{d\bar{T}_{1}^{*}}{d\mathrm{Fo}}}{1-2\bar{T}_{1}^{*}}.
Agora precisamos de \bar{T}_{1}^{*}(\mathrm{Fo}) e de sua derivada.

Passo 5

Obtenção de \bar{T}_{1}^{*}(\mathrm{Fo}) por série (expansão em autovetores).
Mapeio o problema para o segmento [0,2L] (com x'=x+L); a placa 1 ocupa 0\le x'\le L com T^{*}=0 inicialmente e a placa 2 ocupa L\le x'\le 2L com T^{*}=1 inicialmente. As condições nas extremidades x'=0 e x'=2L são isoladas (Neumann nula). Expandimos a condição inicial na série de funções próprias \cos\!\big(\dfrac{n\pi x'}{2L}\big) (Neumann em 0 e 2L). Obtemos os coeficientes:
a média no domínio inteiro (coeficiente a_{0}):
a_{0}=\frac{1}{2L}\int_{0}^{2L} f(x')\,dx'=\frac{1}{2}.
Para n\ge1:
a_{n}=\frac{1}{L}\int_{0}^{2L} f(x')\cos\!\left(\frac{n\pi x'}{2L}\right)dx' =\frac{1}{L}\int_{L}^{2L}\cos\!\left(\frac{n\pi x'}{2L}\right)dx'.
Integração dá
a_{n}=-\frac{2}{n\pi}\sin\!\left(\frac{n\pi}{2}\right).
Como \sin\!\left(\dfrac{n\pi}{2}\right)=0 para n par, só termos ímpares aparecem. Escrevendo n=2m+1:
a_{2m+1}=(-1)^{m+1}\frac{2}{(2m+1)\pi}.

Passo 6

Cálculo de \bar{T}_{1}^{*}(\mathrm{Fo}).
A solução temporal por modos (com número de Fourier \mathrm{Fo}\equiv\alpha t/L^{2}) é
T^{*}(x',\mathrm{Fo})=\frac{1}{2}+\sum_{m=0}^{\infty}a_{2m+1}\cos\!\left(\frac{(2m+1)\pi x'}{2L}\right) \exp\!\left(-\frac{(2m+1)^{2}\pi^{2}}{4}\mathrm{Fo}\right).
A média sobre a metade esquerda (placa 1) é
\bar{T}_{1}^{*}(\mathrm{Fo})=\frac{1}{L}\int_{0}^{L}T^{*}(x',\mathrm{Fo})\,dx' =\frac{1}{2}-\frac{4}{\pi^{2}}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m+1)^{2}} \exp\!\left(-\frac{(2m+1)^{2}\pi^{2}}{4}\mathrm{Fo}\right).
Agora derivamos em relação a \mathrm{Fo}. A derivada simplifica elegantemente (os (2m+1)^{2} cancelam):
\frac{d\bar{T}_{1}^{*}}{d\mathrm{Fo}} =\sum_{m=0}^{\infty}\exp\!\left(-\frac{(2m+1)^{2}\pi^{2}}{4}\mathrm{Fo}\right).
Usando q^{*}=2\,d\bar{T}_{1}^{*}/d\mathrm{Fo} obtemos
q^{*}=2\sum_{m=0}^{\infty}\exp\!\left(-\frac{(2m+1)^{2}\pi^{2}}{4}\mathrm{Fo}\right).

Passo 7

Expressão de U_{\mathrm{ef}}^{*}.
O denominador \bar{T}_{2}^{*}-\bar{T}_{1}^{*}=1-2\bar{T}_{1}^{*} pode ser escrito pela série:
1-2\bar{T}_{1}^{*}=\frac{8}{\pi^{2}}\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m+1)^{2}} \exp\!\left(-\frac{(2m+1)^{2}\pi^{2}}{4}\mathrm{Fo}\right).
Formando a razão U_{\mathrm{ef}}^{*}=q^{*}/(\bar{T}_{2}^{*}-\bar{T}_{1}^{*}) temos cancelamentos e uma forma compacta:
U_{\mathrm{ef}}^{*}(\mathrm{Fo}) =\frac{\pi^{2}}{4}\, \frac{\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\exp\!\left(-\frac{(2m+1)^{2}\pi^{2}}{4}\mathrm{Fo}\right)} {\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\frac{1}{(2m+1)^{2}} \exp\!\left(-\frac{(2m+1)^{2}\pi^{2}}{4}\mathrm{Fo}\right)}.

Passo 8

Aproximação para \mathrm{Fo}>0{,}2.
Para \mathrm{Fo} não muito pequeno os termos de ordem superior na soma decaem muito rápido porque os expoentes contêm (2m+1)^{2}. Para \mathrm{Fo}>0{,}2 o termo m=0 (com fator \exp(-\pi^{2}\mathrm{Fo}/4)) domina tanto no numerador quanto no denominador, de modo que podemos aproximar tomando apenas m=0:
U_{\mathrm{ef}}^{*}(\mathrm{Fo})\approx\frac{\pi^{2}}{4}\quad\text{(para \(\mathrm{Fo}>0{,}2\))}.
Valor numérico:
\frac{\pi^{2}}{4}\approx 2{,}4674.

Resposta

T_{\mathrm{ce},1}^{*}=T_{\mathrm{ce},2}^{*}=\dfrac{1}{2}.
T_{\text{int}}^{*}=\dfrac{1}{2} para qualquer tempo.
U_{\mathrm{ef}}^{*}(\mathrm{Fo}) =\frac{\pi^{2}}{4}\, \frac{\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\exp\!\left(-\dfrac{(2m+1)^{2}\pi^{2}}{4}\mathrm{Fo}\right)} {\displaystyle\sum_{m=0}^{\infty}\dfrac{1}{(2m+1)^{2}} \exp\!\left(-\dfrac{(2m+1)^{2}\pi^{2}}{4}\mathrm{Fo}\right)} \approx\frac{\pi^{2}}{4}\quad(\mathrm{Fo}>0{,}2)\approx 2{,}4674.

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