- Um tanque industrial para líquidos contém 2000 litros de uma solução contendo 40 kg de determinado soluto. É despejada no tanque, à uma vazão de 1 litro por minuto, uma solução do mesmo soluto com concentração de 100 gramas por litro. A mistura é mantida homogênea e simultaneamente retirada, à vazão de 2 litros por minuto.
a) Determine uma expressão para a quantidade e a concentração de soluto no tanque em um tempo
qualquer.
b) A concentração do soluto no tanque aumenta ou diminui ao longo do tempo?
c) Qual é a concentração do soluto quando tivermos 1000 litros de solução no tanque?
a) Determine uma expressão para a quantidade e a concentração de soluto no tanque em um tempo
b) A concentração do soluto no tanque aumenta ou diminui ao longo do tempo?
c) Qual é a concentração do soluto quando tivermos 1000 litros de solução no tanque?
Passo 1
O enunciado descreve um tanque que inicialmente contém
L de solução com
kg de soluto. Entra solução a
L/min com concentração de
g/L (isto é,
kg/L) e sai mistura a
L/min. A mistura permanece homogênea.
Conteúdo: equação diferencial de tanques misturadores. Vamos determinar a quantidade de soluto em kg e a concentração
em kg/L.
Conteúdo: equação diferencial de tanques misturadores. Vamos determinar a quantidade de soluto
Passo 2
Primeiro achamos o volume
. Como entra a
L/min e sai a
L/min,
com
. Daí
Agora modelamos a quantidade de soluto
. A taxa de entrada de soluto é
e a taxa de saída é a concentração atual vezes
L/min, ou seja
Portanto a equação diferencial é
Passo 3
Reescrevendo em forma linear:
O fator integrante é
Multiplicando a equação por
temos
Integrando em
,
Multiplicando por
,
Passo 4
Usamos a condição inicial
kg:
Logo a quantidade de soluto é
Passo 5
A concentração em kg por litro é
Podemos simplificar:
Passo 6
Como a concentração de entrada é
kg/L e a concentração inicial no tanque é
vemos que
, então a concentração no tanque aumenta ao longo do tempo, aproximando-se de
kg/L.
Passo 7
Para encontrar a concentração quando restarem
L, achamos
tal que
, ou seja
min. Então
E a concentração é
ou seja
g/L.
Resposta
a)
em kg
em kg/L
b) A concentração aumenta ao longo do tempo.
c) Quando L, a concentração é
kg/L (ou
g/L).
b) A concentração aumenta ao longo do tempo.
c) Quando