Um tanque com 1 m de diâmetro é alimentado a uma vazão dotV e descarregado através de uma tubulação com 0,1m de diâmetro. Determine a vazão volumétrica V necessária para que o nível de água no tanque permaneça constante e igual a 2 m , assumindo que a energia cinética no tanque NÃO é desprezível (considerar a velocidade na superfície no tanque diferente de zero)

Passo 1

Então, o enunciado diz que temos um tanque de 1 m de diâmetro cheio de água até 2 m de altura, que recebe uma vazão e descarrega por um cano de 0,1 m de diâmetro. A condição é que o nível do tanque fique sempre constante em 2 m. A matéria aqui é Hidráulica/Bernoulli com energia cinética não desprezível na superfície. Para resolver, vamos precisar de:
  • Equação de Bernoulli entre a superfície livre e a saída do cano,
  • Equação de continuidade ( ),
  • Cálculo da área dos dois trechos,
  • Resolver a equação resultante para .

Passo 2

Desenhando mentalmente o esquema, chamamos:
  • Ponto 1: superfície livre do tanque (altura Q = A1,v1 = A2,v2, m, pressão A1 = pi4(1)^2, A2 = pi4(0,1)^2 , velocidade p1 + tfrac12rho v1^2 + rho g z1 = p2 + tfrac12rho v2^2 + rho g z2 ),
  • Ponto 2: saída do cano (altura m, pressão , velocidade ).
Equações-chaves:
  1. Continuidade:
sendo
  1. Bernoulli (sem perdas, sem bomba):

Passo 3

Como tfrac12 v1^2 + g,z1 = tfrac12 v2^2 + g,z2 , a gente simplifica a pressão e a densidade v2^2 = v1^2 + 2g(z1 - z2) = v1^2 + 2gcdot2 . Fica:
Isolando :

Passo 4

Da continuidade, l(QA2r)^2 = l(QA1r)^2 + 2gcdot2 e . Substituindo em cima:

Passo 5

Reorganizando para Q^2A2^2 - Q^2A1^2 = 4g Longrightarrow Q^2l(1A2^2 - 1A1^2r) = 4g :
Q = raiz4gtfrac1A2^2 - tfrac1A1^2,
Então

Passo 6

Agora, calcula as áreas numéricas:
A1 = pi4 (1)^2 approx 0,7854; m^2, A2 = pi4 (0,1)^2 approx 0,007854; m^2
Logo
1A2^2 approx (127,32)^2 approx 16217, 1A1^2 approx (1,2732)^2 approx 1,621
E .

Passo 7

Substituindo tudo:
Q = raiz39,2416217 - 1,621 = raiz39,2416215,4 approx raiz0,0024206 approx 0,0492;m^3/s

Resposta

A vazão volumétrica necessária é
boxedQ approx 0,0492;m^3/s (ou 49,2; L/s)

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