Uma parede plana, com 2L de espessura, tem fontes internas de calor cuja taxa de geração varia de acordo com
onde
é o calor gerado por volume unitário no centro da parede (
) e
é uma constante. Se os dois lados forem mantidos a uma temperatura constante de
.
Derive uma expressão para a distribuição de temperatura na parede.
Derive uma expressão para a distribuição de temperatura na parede.
Passo 1
Beleza, vamos ter uma parede plana de espessura total 2L (ou seja, x vai de –L até +L), com geração interna de calor que varia como
As duas faces da parede estão mantidas a temperatura fixa
Passo 2
A equação geral unidimensional em regime estacionário com geração é
Como
Passo 3
Agora a gente integra uma vez em relação a
. Integrando
vem
$$\frac{dT}{dx} = -\frac{q_0}{k}\int \cos(ax),dx + C_1
= -\frac{q_0}{k},\frac{\sin(ax)}{a} + C_1,. $$
Aqui é constante de integração.
Aqui
Passo 4
Integramos de novo pra achar
:
$$T(x)=\int\left(-\frac{q_0}{k}\frac{\sin(ax)}{a}+C_1\right)dx + C_2
= -\frac{q_0}{k},\frac{1}{a^2}\cos(ax) + C_1,x + C_2, $$
onde é outra constante de integração.
onde
Passo 5
Agora impomos as condições de contorno:
- em
, - em
, .
Isso dá o sistema
Como
Substituindo de volta numa delas chega em
Resposta
Juntando tudo, a distribuição de temperatura fica