Uma parede plana, com 2L de espessura, tem fontes internas de calor cuja taxa de geração varia de acordo com
qg=q0 cos (a x)
onde q0 é o calor gerado por volume unitário no centro da parede ( x=0 ) e a é uma constante. Se os dois lados forem mantidos a uma temperatura constante de Tw.
Derive uma expressão para a distribuição de temperatura na parede.

Passo 1

Beleza, vamos ter uma parede plana de espessura total 2L (ou seja, x vai de –L até +L), com geração interna de calor que varia como
qg(x)=q0cos(ax),
As duas faces da parede estão mantidas a temperatura fixa Tw. O assunto é condução de calor unidimensional em regime permanente, usando a equação diferencial de condução com fonte interna. Para resolver, a gente vai precisar da condutividade térmica k, da equação de Fourier e de integrar duas vezes a equação diferencial, depois aplicar as condições de contorno.

Passo 2

A equação geral unidimensional em regime estacionário com geração é
ddxl(kdTdxr)+qg(x)=0,
Como k é constante, isso vira
kd^2Tdx^2+q0cos(ax)=0Longrightarrow d^2Tdx^2 + q0kcos(ax)=0,

Passo 3

Agora a gente integra uma vez em relação a x. Integrando
d^2Tdx^2 = -q0kcos(ax)
vem
$$\frac{dT}{dx} = -\frac{q_0}{k}\int \cos(ax),dx + C_1
= -\frac{q_0}{k},\frac{\sin(ax)}{a} + C_1,. $$
Aqui dTdx = -q0kintegral cos(ax),dx + C1 = -q0k,sin(ax)a + C1, é constante de integração.

Passo 4

Integramos de novo pra achar T(x):
$$T(x)=\int\left(-\frac{q_0}{k}\frac{\sin(ax)}{a}+C_1\right)dx + C_2
= -\frac{q_0}{k},\frac{1}{a^2}\cos(ax) + C_1,x + C_2, $$
onde T(x)=integral(-q0ksin(ax)a+C1)dx + C2 = -q0k,1a^2cos(ax) + C1,x + C2,, é outra constante de integração.

Passo 5

Agora impomos as condições de contorno:
  1. em x=+L, T(+L)=Tw
  2. em x=-L, T(-L)=Tw.
    Isso dá o sistema
-q0k,a^2cos(aL) + C1,L + C2 = Tw,,
-q0k,a^2cos(-aL) + C1(-L) + C2 = Tw,
Como cos(-aL)=cos(aL), subtraindo uma equação da outra a gente vê que C1=0.
Substituindo de volta numa delas chega em
C2 = Tw + q0k,a^2cos(aL),

Resposta

Juntando tudo, a distribuição de temperatura fica
boxedT(x)=Tw ;+;q0k,a^2,l[cos(aL)-cos(ax)r],

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