Os tanques
e
estão assentados no mesmo plano horizontal e armazenam um mesmo liquido de massa especifica
num local onde a aceleração da gravidade é g. Um manômetro de tubo em U tem seu ramo esquerdo conectado à base do tanque
, onde a pressão é
, e seu ramo direito conectado à base do tanque
, onde a pressão é
. O liquido manométrico usado tem massa específica
. Se o nivel do liquido manométrico no ramo esquerdo está a uma altura H acima do nivel do liquido manométrico no ramo direito, o valor de
é
Escolha uma opção:
O. A.
O B.
C.
D.
O. A.
C.
D.
Passo 1
O enunciado pede o valor de
. As informações relevantes são:
- Os tanques
e estão no mesmo plano horizontal e contêm o mesmo líquido com massa específica . - Um manômetro em U conecta a base do tanque
(onde a pressão é ) ao base do tanque (onde a pressão é ). - O líquido do manômetro tem massa específica
. - O nível do líquido manométrico no ramo esquerdo está uma altura
acima do nível no ramo direito. (Ou seja, a superfície do líquido manométrico do lado esquerdo está a mais alta do que a do lado direito.) - Queremos expressar
em função de e .
Passo 2
Vou usar a lei da hidrostaticidade para relacionar pressões em diferentes alturas em um mesmo fluido. A forma útil é:
onde
é a massa específica do fluido,
a aceleração da gravidade, e
a distância vertical entre os pontos (positivo quando o ponto “abaixo” está mais baixo). Em palavras: quanto mais abaixo em um fluido, maior a pressão, e o aumento é
.
Passo 3
Definimos alturas medidas a partir do ponto onde os manômetros se conectam às bases (esse ponto vamos chamar de referência, altura zero). Seja:
-
a altura (acima da referência) do nível (superfície) do líquido manométrico no ramo esquerdo, -
a altura (acima da referência) do nível do líquido manométrico no ramo direito.
Pelo enunciado sabemos que
Passo 4
Considere a pressão imediatamente abaixo da interface (em contato) entre o líquido do tanque e o líquido manométrico em cada ramo. Essa pressão é a mesma dos pontos do respectivo tanque na altura da interface (não há salto de pressão ao trocar de fluido, exceto tensão superficial que desprezamos aqui). Aplicando a hidrostaticidade subindo desde a conexão (altura zero) até a interface em cada ramo:
Pressão imediatamente abaixo da interface no ramo esquerdo:
Explicação:
é a pressão na base (referência). Subindo uma distância
no fluido de densidade
a pressão diminui de
, logo o valor acima.
Pressão imediatamente abaixo da interface no ramo direito:
Aqui
e
são pressões na parte superior do líquido manométrico, imediatamente abaixo das interfaces de cada ramo.
Passo 5
Agora movemos o líquido manométrico entre as duas interfaces. O líquido manométrico é contínuo no fundo do U, então a pressão em um ponto da superfície do líquido manométrico no ramo direito é obtida a partir da pressão na superfície do líquido manométrico no ramo esquerdo pelo acréscimo hidroestático devido à diferença de altura entre as superfícies, usando a densidade
.
Como a superfície esquerda está
acima da direita, ao ir da superfície esquerda para a direita estamos descendo uma distância
, portanto a pressão aumenta em
. Assim:
Passo 6
Substituímos as expressões dos passos anteriores em
:
Agora usamos
para eliminar
. Primeiro escrevemos a equação de forma a isolar
:
Substituindo
:
Passo 7
Simplificamos os termos que dependem de
:
Os termos com
se cancelam, sobrando
Colocando em fator comum
:
Passo 8
Interpretação rápida (chega para conferir): se
(manométrico mais denso), então o parêntese
é positivo e
é negativo quando
(ou seja, se o nível do manométrico está mais alto do lado esquerdo, isso corresponde a
). Isso bate com a intuição física: lado com pressão maior empurra o líquido manométrico para baixo naquele lado, fazendo o nível do lado oposto subir.
Resposta
A.