Os tanques T_{1} e T_{2} estão assentados no mesmo plano horizontal e armazenam um mesmo liquido de massa especifica \rho num local onde a aceleração da gravidade é g. Um manômetro de tubo em U tem seu ramo esquerdo conectado à base do tanque T_{1}, onde a pressão é p_{1}, e seu ramo direito conectado à base do tanque T_{2}, onde a pressão é \mathrm{p}_{2}. O liquido manométrico usado tem massa específica \rho_{\mathrm{m}}. Se o nivel do liquido manométrico no ramo esquerdo está a uma altura H acima do nivel do liquido manométrico no ramo direito, o valor de p_{1}-p_{2} é
Escolha uma opção:
O. A. -\left(\rho_{m}-\rho\right) \times g \times H
O B. -\rho_{m} \times g \times H
C. \rho_{\mathrm{m}} \times \mathrm{g} \times \mathrm{H}
D. \left(\rho_{m}-\rho\right) \times g \times H

Passo 1

O enunciado pede o valor de \,p_{1}-p_{2}\,. As informações relevantes são:
  • Os tanques T_{1} e T_{2} estão no mesmo plano horizontal e contêm o mesmo líquido com massa específica \rho.
  • Um manômetro em U conecta a base do tanque T_{1} (onde a pressão é p_{1}) ao base do tanque T_{2} (onde a pressão é p_{2}).
  • O líquido do manômetro tem massa específica \rho_{m}.
  • O nível do líquido manométrico no ramo esquerdo está uma altura H acima do nível no ramo direito. (Ou seja, a superfície do líquido manométrico do lado esquerdo está a \,H\, mais alta do que a do lado direito.)
  • Queremos expressar \,p_{1}-p_{2}\, em função de \rho,\rho_{m},g e H.

Passo 2

Vou usar a lei da hidrostaticidade para relacionar pressões em diferentes alturas em um mesmo fluido. A forma útil é:
p_{\text{abaixo}} = p_{\text{acima}} + \rho g h,
onde \rho é a massa específica do fluido, g a aceleração da gravidade, e h a distância vertical entre os pontos (positivo quando o ponto “abaixo” está mais baixo). Em palavras: quanto mais abaixo em um fluido, maior a pressão, e o aumento é \rho g h.

Passo 3

Definimos alturas medidas a partir do ponto onde os manômetros se conectam às bases (esse ponto vamos chamar de referência, altura zero). Seja:
  • \,y_{L}\, a altura (acima da referência) do nível (superfície) do líquido manométrico no ramo esquerdo,
  • \,y_{R}\, a altura (acima da referência) do nível do líquido manométrico no ramo direito.
Pelo enunciado sabemos que
y_{L}=y_{R}+H.

Passo 4

Considere a pressão imediatamente abaixo da interface (em contato) entre o líquido do tanque e o líquido manométrico em cada ramo. Essa pressão é a mesma dos pontos do respectivo tanque na altura da interface (não há salto de pressão ao trocar de fluido, exceto tensão superficial que desprezamos aqui). Aplicando a hidrostaticidade subindo desde a conexão (altura zero) até a interface em cada ramo:
Pressão imediatamente abaixo da interface no ramo esquerdo:
p_{mL}=p_{1}-\rho g y_{L}.
Explicação: p_{1} é a pressão na base (referência). Subindo uma distância y_{L} no fluido de densidade \rho a pressão diminui de \rho g y_{L}, logo o valor acima.
Pressão imediatamente abaixo da interface no ramo direito:
p_{mR}=p_{2}-\rho g y_{R}.
Aqui p_{mL} e p_{mR} são pressões na parte superior do líquido manométrico, imediatamente abaixo das interfaces de cada ramo.

Passo 5

Agora movemos o líquido manométrico entre as duas interfaces. O líquido manométrico é contínuo no fundo do U, então a pressão em um ponto da superfície do líquido manométrico no ramo direito é obtida a partir da pressão na superfície do líquido manométrico no ramo esquerdo pelo acréscimo hidroestático devido à diferença de altura entre as superfícies, usando a densidade \rho_{m}.
Como a superfície esquerda está H acima da direita, ao ir da superfície esquerda para a direita estamos descendo uma distância H, portanto a pressão aumenta em \rho_{m} g H. Assim:
p_{mR}=p_{mL}+\rho_{m} g H.

Passo 6

Substituímos as expressões dos passos anteriores em \,p_{mR}=p_{mL}+\rho_{m} g H\,:
p_{2}-\rho g y_{R} = \bigl(p_{1}-\rho g y_{L}\bigr) + \rho_{m} g H.
Agora usamos y_{L}=y_{R}+H para eliminar y_{L}. Primeiro escrevemos a equação de forma a isolar p_{1}-p_{2}:
p_{1}-p_{2} = -\rho g y_{R} + \rho g y_{L} - \rho_{m} g H.
Substituindo y_{L}=y_{R}+H:
p_{1}-p_{2} = -\rho g y_{R} + \rho g (y_{R}+H) - \rho_{m} g H.

Passo 7

Simplificamos os termos que dependem de y_{R}:
p_{1}-p_{2} = -\rho g y_{R} + \rho g y_{R} + \rho g H - \rho_{m} g H.
Os termos com y_{R} se cancelam, sobrando
p_{1}-p_{2} = (\rho g H) - (\rho_{m} g H).
Colocando em fator comum gH:
p_{1}-p_{2} = -(\rho_{m}-\rho)\,g\,H.

Passo 8

Interpretação rápida (chega para conferir): se \rho_{m}>\rho (manométrico mais denso), então o parêntese \rho_{m}-\rho é positivo e p_{1}-p_{2} é negativo quando H>0 (ou seja, se o nível do manométrico está mais alto do lado esquerdo, isso corresponde a p_{1}<p_{2}). Isso bate com a intuição física: lado com pressão maior empurra o líquido manométrico para baixo naquele lado, fazendo o nível do lado oposto subir.

Resposta

A. -\left(\rho_{m}-\rho\right)\times g \times H

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