Experimentos de filtração a pressão constante foram realizados com uma solução de carbonato de cálcio e água para obtenção dos valores de resistência da torta e resistência do meio filtrante, para duas concentrações e duas pressões diferentes. O meio filtrante utilizado em todos os experimentos foi o mesmo (papel filtro). Os resultados obtidos são apresentados na tabela abaixo:
Table 1: Tabela 1. Valores de \alpha e Rm para diferentes concentrações e pressões.
\captionsetup{labelformat=empty}
Concentração (g/L) Pressão (kPa) \alpha\left(10^{10} \mathrm{~m} / \mathrm{kg}\right) \operatorname{Rm}\left(10^{10} 1 / \mathrm{m}\right)
20 5 9,3 1,56
20 8 13,0 4,16
40 5 8,5 2,29
40 8 15,0 3,21
A partir dos dados encontrados no experimento responda:
A diferença de valores de resistência da torta obtidos para concentrações diferentes a uma mesma pressão é coerente? Justifique para os dois casos.

Passo 1

O enunciado pede para avaliar se a diferença nos valores de resistência da torta obtidos para duas concentrações diferentes, a uma mesma pressão, é coerente. As informações relevantes fornecidas pela tabela são (peguei os números da tabela do enunciado):
\begin{array}{ll} \text{Concentração }20\\ \mathrm{g/L},\\ \text{Pressão }5\\ \mathrm{kPa}:\\ \alpha=9{,}3\\ (10^{10}\,\mathrm{m/kg})\\[4pt] \text{Concentração }40\\ \mathrm{g/L},\\ \text{Pressão }5\\ \mathrm{kPa}:\\ \alpha=8{,}5\\ (10^{10}\,\mathrm{m/kg})\\[4pt] \text{Concentração }20\\ \mathrm{g/L},\\ \text{Pressão }8\\ \mathrm{kPa}:\\ \alpha=13{,}0\\ (10^{10}\,\mathrm{m/kg})\\[4pt] \text{Concentração }40\\ \mathrm{g/L},\\ \text{Pressão }8\\ \mathrm{kPa}:\\ \alpha=15{,}0\\ (10^{10}\,\mathrm{m/kg}) \end{array}çããçããçããçãã
Também é dado que o meio filtrante (papel filtro) foi o mesmo em todos os experimentos. A pergunta é: para cada pressão ( 5\\ \mathrm{kPa} e 8\\ \mathrm{kPa}) a diferença entre \alpha em 20\\ \mathrm{g/L} e 40\\ \mathrm{g/L} é coerente?]

Passo 2

O que é \alpha e por que ele muda? Vou explicar devagar para você levar pro dia da prova. \alpha é a resistência específica da torta (specific cake resistance). Ela representa quanto o empacotamento e os poros da torta dificultam o escoamento do líquido por unidade de massa de sólido depositado. Uma forma qualitativa comum (baseada no modelo de Kozeny–Carman para leitos porosos) relaciona \alpha com a porosidade \epsilon e um comprimento característico das partículas d_p:
\alpha \propto \frac{(1-\epsilon)^2}{\epsilon^3 d_p^2}.
Aqui:
  • \epsilon é a fração volumétrica de vazios (poros) na torta (entre 0 e 1),
  • d_p é uma medida do tamanho efetivo de partícula (quanto menores as partículas, maior \alpha).
    Essa fórmula mostra o que interessa: pequenas variações na porosidade provocam grandes variações em \alpha porque \epsilon aparece em poderes altos.

Passo 3

Efeito da pressão e da concentração (conceitos que você precisa aplicar na prova):
  • Compressibilidade da torta: muitos sólidos formam tortas compressíveis; ao aumentar a pressão \,P, a torta se adensa (menor \epsilon) e \alpha aumenta. Uma lei empírica usada às vezes é
\alpha = \alpha_0\,P^n,
com n>0 para tortas compressíveis. Ou seja, mais pressão → maior \alpha em geral.
  • Efeito da concentração inicial do pulpom: a concentração do alimentador pode influenciar a microestrutura da torta formada. Em termos gerais:
    • maior concentração tende a depositar mais partículas por tempo dado, favorecendo contatos sólidos e, sob compressão, tortas mais densas (menor \epsilon) → maior \alpha;
    • porém, dependendo da floculação, da taxa de deposição e da pressão, uma concentração maior pode também favorecer aglomerados frouxos ou canais que aumentam \epsilon localmente → \alpha pode diminuir.
      Portanto, o efeito da concentração pode ser sentido de maneiras diferentes a pressões diferentes; além disso, há ruído experimental.

Passo 4

Vamos comparar numericamente os valores a 5\\ \mathrm{kPa} (peguei os valores da tabela):
\alpha_{20}^{(5)} = 9{,}3,\qquad \alpha_{40}^{(5)} = 8{,}5\quad\text{(unidades: }10^{10}\,\mathrm{m/kg}\text{)}.
Calculo a diferença absoluta e relativa:
\Delta\alpha^{(5)} = 8{,}5 - 9{,}3 = -0{,}8,
\%\\ \text{diferença} = \frac{8{,}5-9{,}3}{9{,}3}\times100\% \approx -8{,}6\%.ç
Interpretação didática: a redução de cerca de 8{,}6\% em \alpha ao duplicar a concentração é relativamente pequena. Para tortas pouco comprimidas (pressão baixa como 5\\ \mathrm{kPa}), a compressibilidade é limitada, então a microestrutura inicial da torta (flocos, empacotamento local) e variações experimentais podem dominar. Cada experimento de filtração tem incertezas (pequenas diferenças na preparação do pulpom, distribuição de partículas, medição do fluxo, leituras de pressão, qualidade do papel filtro). Uma variação de \sim 10\% é tipicamente plausível experimentalmente. Assim, o pequeno decréscimo observado em 5\\ \mathrm{kPa} é coerente: pode ser simplesmente efeito experimental ou resultado da formação de uma torta ligeiramente mais porosa em 40\\ \mathrm{g/L} sob baixa pressão.

Passo 5

Agora a 8\\ \mathrm{kPa}:
\alpha_{20}^{(8)} = 13{,}0,\qquad \alpha_{40}^{(8)} = 15{,}0.
Diferença absoluta e relativa:
\Delta\alpha^{(8)} = 15{,}0 - 13{,}0 = 2{,}0,
\%\\ \text{diferença} = \frac{15{,}0-13{,}0}{13{,}0}\times100\% \approx +15{,}4\%.ç
Interpretação didática: aqui a \alpha aumenta cerca de 15{,}4\% ao duplicar a concentração. A 8\\ \mathrm{kPa} a pressão é maior, portanto o efeito de compressão da torta é mais forte. Sob maior pressão, se há mais sólidos na alimentação, a torta tende a se empacotar ainda mais (menor \epsilon), aumentando bastante \alpha por causa da forte dependência com a porosidade (veja a fórmula do Passo 2). Logo, ver \alpha maior para 40\\ \mathrm{g/L} a 8\\ \mathrm{kPa} é justamente o comportamento físico esperado para uma torta compressível — portanto coerente.

Passo 6

Comentário sobre consistência geral e ruído experimental (útil para a prova): como o meio filtrante é o mesmo, esperaríamos que a resistência do meio \mathrm{R_m} fosse próxima entre experimentos, mas na tabela ela varia, o que indica existência de erro experimental/variabilidade. Isso reforça que pequenas diferenças em \alpha (como a de 5\\ \mathrm{kPa}) podem ser simplesmente ruído experimental. Já diferenças maiores (como em 8\\ \mathrm{kPa}) que seguem a tendência física conhecida (mais concentração + mais pressão → maior \alpha) são mais significativas.

Resposta

Para 5\\ \mathrm{kPa}: sim — a redução de \alpha de 9{,}3 para 8{,}5 ( \approx-8{,}6\%) é pequena e coerente, podendo ser atribuída à variabilidade experimental e a diferenças na microestrutura da torta sob baixa pressão.
Para 8\\ \mathrm{kPa}: sim — o aumento de \alpha de 13{,}0 para 15{,}0 ( \approx+15{,}4\%) é coerente com o comportamento de tortas compressíveis, pois maior concentração e maior pressão tendem a reduzir a porosidade e aumentar a resistência específica da torta.

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