A taxa de desemprego em certa cidade é de 10 %. É obtida uma amostra aleatória de 100 pessoas. Qual a probabilidade de uma amostra ter, pelo menos, 15 pessoas desempregadas?

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. A gente sabe que a taxa de desemprego na cidade é de 10%, ou seja, 10 em cada 100 pessoas estão desempregadas. Agora, tiramos uma amostra aleatória de 100 pessoas e queremos saber qual a probabilidade de, nessa amostra, pelo menos 15 pessoas estejam desempregadas. Vamos resolver isso usando a distribuição binomial, que é ótima para calcular probabilidades de eventos com duas opções, como desempregado ou empregado.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os parâmetros da distribuição binomial. A distribuição binomial é definida por dois parâmetros: $ n $ e $ p $.
  • $ n $ é o número de tentativas, que no nosso caso é o número de pessoas na amostra. Aqui, $ n = 100 $.
  • $ p $ é a probabilidade de sucesso em cada tentativa. Como estamos considerando “sucesso” como uma pessoa estar desempregada, e a taxa de desemprego é de 10%, temos $ p = 0,10 $.

Passo 3

A distribuição binomial nos dá a probabilidade de exatamente $ k $ sucessos em $ n $ tentativas. A fórmula é:
k
Onde $ \binom{n}{k} $ é o coeficiente binomial, que calcula de quantas maneiras podemos escolher $ k $ sucessos em $ n $ tentativas.

Passo 4

No nosso caso, queremos a probabilidade de pelo menos 15 pessoas estarem desempregadas. Isso significa que queremos somar as probabilidades de exatamente 15, 16, 17, …, até 100 pessoas estarem desempregadas. Ou seja:
P(X >= 15) = sumk=15^100 binom100k 0,10^k times 0,90^100 - k

Passo 5

Calcular essa soma diretamente é bastante trabalhoso, então vamos utilizar uma aproximação. Como $ n $ é grande e $ p $ não é muito próximo de 0 ou 1, podemos usar a aproximação da distribuição normal para a binomial.
Primeiro, encontramos a média $ \mu $ e o desvio padrão $ \sigma $:
n
p

Passo 6

Agora, queremos encontrar a probabilidade de $ X \geq 15 $. Para usar a distribuição normal, aplicamos a correção de continuidade:
X >= 15

Passo 7

Consultando a tabela da distribuição normal padrão, encontramos que:
P(Z >= 1,5) = 1 - P(Z <= 1,5) approx 1 - 0,9332 = 0,0668

Passo 8

Portanto, a probabilidade de, em uma amostra de 100 pessoas, pelo menos 15 estarem desempregadas é de aproximadamente 6,68%.

Resposta

A probabilidade de que, em uma amostra de 100 pessoas, pelo menos 15 estejam desempregadas é de aproximadamente 6,68%.

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