Uma maneira de verificar o efeito da subcobertura, não-resposta, entre outras fontes de erro em uma pesquisa amostral, é comparar a amostra com fatos conhecidos sobre a população. Cerca de
dos adultos norte-americanos são negros. O número
de negros em uma amostra aleatória de 1500 adultos deveria, portanto, variar tendo a distribuição binomial
. Calcule a média e o desvio padrão de
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como verificar certos erros em uma pesquisa amostral, usando como exemplo a porcentagem de adultos negros nos Estados Unidos. A gente sabe que 12% dos adultos são negros e queremos calcular a média e o desvio padrão do número de negros em uma amostra de 1500 pessoas. Para isso, vamos usar a distribuição binomial, que é perfeita para esse tipo de problema onde temos duas possibilidades (ser negro ou não) em cada tentativa.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição binomial. Ela descreve o número de sucessos em uma sequência de n experimentos independentes, onde cada experimento tem uma probabilidade fixa de sucesso p. No nosso caso, “sucesso” é encontrar uma pessoa negra na amostra.
Passo 3
Para calcular a média (esperança) da distribuição binomial, usamos a fórmula:
Onde:
- $ n = 1500 $ (tamanho da amostra)
- $ p = 0.12 $ (probabilidade de encontrar um adulto negro)
Passo 4
Vamos substituir os valores na fórmula da média:
Então, a média é 180 pessoas negras na amostra.
Passo 5
Agora, vamos calcular o desvio padrão. A fórmula para o desvio padrão ($ \sigma $) na distribuição binomial é:
Vamos aplicar isso com nossos valores.
Passo 6
Substituindo os valores na fórmula do desvio padrão:
Portanto, o desvio padrão é aproximadamente 12,59.
Resposta
A média do número de negros na amostra é 180 e o desvio padrão é aproximadamente 12,59.