Uma maneira de verificar o efeito da subcobertura, não-resposta, entre outras fontes de erro em uma pesquisa amostral, é comparar a amostra com fatos conhecidos sobre a população. Cerca de
12 % dos adultos norte-americanos são negros. O número X de negros em uma amostra aleatória de 1500 adultos deveria, portanto, variar tendo a distribuição binomial (n=1500 ; p=0,12). Calcule a média e o desvio padrão de X.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre como verificar certos erros em uma pesquisa amostral, usando como exemplo a porcentagem de adultos negros nos Estados Unidos. A gente sabe que 12% dos adultos são negros e queremos calcular a média e o desvio padrão do número de negros em uma amostra de 1500 pessoas. Para isso, vamos usar a distribuição binomial, que é perfeita para esse tipo de problema onde temos duas possibilidades (ser negro ou não) em cada tentativa.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é a distribuição binomial. Ela descreve o número de sucessos em uma sequência de n experimentos independentes, onde cada experimento tem uma probabilidade fixa de sucesso p. No nosso caso, “sucesso” é encontrar uma pessoa negra na amostra.

Passo 3

Para calcular a média (esperança) da distribuição binomial, usamos a fórmula:
mu = n times p
Onde:
  • $ n = 1500 $ (tamanho da amostra)
  • $ p = 0.12 $ (probabilidade de encontrar um adulto negro)

Passo 4

Vamos substituir os valores na fórmula da média:
mu = 1500 times 0.12 = 180
Então, a média é 180 pessoas negras na amostra.

Passo 5

Agora, vamos calcular o desvio padrão. A fórmula para o desvio padrão ($ \sigma $) na distribuição binomial é:
sigma
Vamos aplicar isso com nossos valores.

Passo 6

Substituindo os valores na fórmula do desvio padrão:
sigma = raiz1500 times 0.12 times (1 - 0.12) = raiz1500 times 0.12 times 0.88
sigma = raiz1500 times 0.1056 = raiz158.4 approx 12.59
Portanto, o desvio padrão é aproximadamente 12,59.

Resposta

A média do número de negros na amostra é 180 e o desvio padrão é aproximadamente 12,59.

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