A taxa marginal de substituição técnica é um conceito da microeconomia, mais especificamente da teoria da firma, que diz quantas unidades de um tipo de insumo se pode reduzir/aumentar com o aumento/redução de uma única unidade de outro tipo de insumo de modo que a produção da firma permaneça constante.
caso de taxa marginal de substituição técnica mais usado é o de capital (
) por trabalho (
), denotada por TMST (
), que indica a quantidade de capital que se pode reduzir/aumentar quando se usa uma unidade a mais/menos de trabalho de modo que a produção permaneça constante. Sendo
a função produção, mostra-se que
. Para a função produção
mostre que a taxa marginal de substituição técnica é
.
Passo 1
O enunciado dá a função-produção
e pede a taxa marginal de substituição técnica, que é
isto é, a razão entre a derivada parcial de
em relação a
e a derivada parcial em relação a
. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e a derivada de potências.
Passo 2
Definimos
de modo que
Aplicando a regra da cadeia para
:
- A derivada de
em relação a é
- A derivada de
em relação a é
Multiplicando, obtemos
Passo 3
De modo análogo, para
:
- A derivada de
em relação a é
- Aplicando a regra da cadeia,
Passo 4
Agora fazemos a razão