A taxa marginal de substituição técnica é um conceito da microeconomia, mais especificamente da teoria da firma, que diz quantas unidades de um tipo de insumo se pode reduzir/aumentar com o aumento/redução de uma única unidade de outro tipo de insumo de modo que a produção da firma permaneça constante. O caso de taxa marginal de substituição técnica mais usado é o de capital ( K ) por trabalho ( L ), denotada por TMST ( L, K ), que indica a quantidade de capital que se pode reduzir/aumentar quando se usa uma unidade a mais/menos de trabalho de modo que a produção permaneça constante. Sendo P(K, L) a função produção, mostra-se que \operatorname{TMST}(L, K)= P_{L} / P_{K}. Para a função produção
P=f(l, k)=\left(\alpha k^{-\theta}+(1-\alpha) l^{-\theta}\right)^{-\frac{1}{\theta}}
mostre que a taxa marginal de substituição técnica é \operatorname{TMST}(l, k)=\left(\frac{1-\alpha}{\alpha}\right)\left(\frac{k}{l}\right)^{\theta+1}.

Passo 1

O enunciado dá a função-produção
P = f(l,k) = \bigl(\alpha\,k^{-\theta} + (1-\alpha)\,l^{-\theta}\bigr)^{-\tfrac{1}{\theta}}
e pede a taxa marginal de substituição técnica, que é
\mathrm{TMST}(l,k)\;=\;\frac{P_{L}}{P_{K}},
isto é, a razão entre a derivada parcial de P em relação a l e a derivada parcial em relação a k. Para isso, vamos usar a regra da cadeia e a derivada de potências.

Passo 2

Definimos
S = \alpha\,k^{-\theta} + (1-\alpha)\,l^{-\theta},
de modo que
P = S^{-\tfrac{1}{\theta}}.
Aplicando a regra da cadeia para P_{L} = \partial P/\partial l:
  1. A derivada de S^{-\tfrac{1}{\theta}} em relação a S é
-\frac{1}{\theta}\,S^{-\tfrac{1}{\theta}-1}.
  1. A derivada de S em relação a l é
\frac{\partial S}{\partial l} = (1-\alpha)\,\frac{d}{dl}\bigl(l^{-\theta}\bigr) = (1-\alpha)\,(-\theta)\,l^{-\theta-1}.
Multiplicando, obtemos
P_{L} = -\frac{1}{\theta}\,S^{-\tfrac{1}{\theta}-1}\,\bigl[(1-\alpha)(-\,\theta)\,l^{-\theta-1}\bigr] = S^{-\tfrac{1}{\theta}-1}\,(1-\alpha)\,l^{-\theta-1}.

Passo 3

De modo análogo, para P_{K} = \partial P/\partial k:
  1. A derivada de S em relação a k é
\frac{\partial S}{\partial k} = \alpha\,\frac{d}{dk}\bigl(k^{-\theta}\bigr) = \alpha\,(-\theta)\,k^{-\theta-1}.
  1. Aplicando a regra da cadeia,
P_{K} = -\frac{1}{\theta}\,S^{-\tfrac{1}{\theta}-1}\,\bigl[\alpha(-\theta)\,k^{-\theta-1}\bigr] = S^{-\tfrac{1}{\theta}-1}\,\alpha\,k^{-\theta-1}.

Passo 4

Agora fazemos a razão
\mathrm{TMST}(l,k) = \frac{P_{L}}{P_{K}} = \frac{S^{-\tfrac{1}{\theta}-1}\,(1-\alpha)\,l^{-\theta-1}} {S^{-\tfrac{1}{\theta}-1}\,\alpha\,k^{-\theta-1}} = \frac{1-\alpha}{\alpha}\;\frac{l^{-\theta-1}}{k^{-\theta-1}} = \frac{1-\alpha}{\alpha}\;\Bigl(\frac{k}{l}\Bigr)^{\theta+1}.

Resposta

\mathrm{TMST}(l,k) = \frac{1-\alpha}{\alpha}\,\Bigl(\frac{k}{l}\Bigr)^{\theta+1}.

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