Verifique se a série é convergente ou divergente. (não use o teste da razão)
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{(n+1)^{2}}

Passo 1

O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(n+1)^{2}}.
O tema é séries alternadas e convergência absoluta. Vamos usar o critério de Leibniz (séries alternadas) e o teste da série p (para verificar convergência absoluta).

Passo 2

Defina b_{n} = \frac{1}{(n+1)^{2}}. Note que para todo n\ge0:
  1. b_{n}>0.
  2. b_{n+1} = \frac{1}{(n+2)^{2}} < \frac{1}{(n+1)^{2}} = b_{n}, logo (b_{n}) é decrescente.
  3. \displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}} = 0.
    Pelo critério de Leibniz, como (b_{n}) é positiva, decrescente e tende a zero, a série alternada
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}b_{n}
converge.

Passo 3

Para verificar convergência absoluta, considere
\sum_{n=0}^{\infty}\bigl|(-1)^{n}\tfrac{1}{(n+1)^{2}}\bigr| = \sum_{n=0}^{\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}}.
Esta é uma série p com p=2>1, portanto converge. Como converge a série dos módulos, a série original converge absolutamente.

Resposta

A série converge absolutamente (e, portanto, converge).

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