Verifique se a série é convergente ou divergente. (não use o teste da razão)
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n} \frac{1}{(n+1)^{2}}
Passo 1
O enunciado pede para analisar a convergência da série
\sum_{n=0}^{\infty}(-1)^{n}\frac{1}{(n+1)^{2}}.
O tema é séries alternadas e convergência absoluta. Vamos usar o critério de Leibniz (séries alternadas) e o teste da série p (para verificar convergência absoluta).
Passo 2
Defina b_{n} = \frac{1}{(n+1)^{2}}. Note que para todo n\ge0:
b_{n}>0.
b_{n+1} = \frac{1}{(n+2)^{2}} < \frac{1}{(n+1)^{2}} = b_{n}, logo (b_{n}) é decrescente.
\displaystyle\lim_{n\to\infty}b_{n} = \lim_{n\to\infty}\frac{1}{(n+1)^{2}} = 0.
Pelo critério de Leibniz, como (b_{n}) é positiva, decrescente e tende a zero, a série alternada