A que taxa o nível do líquido diminui dentro de um tanque cilíndrico vertical se bombearmos o líquido para fora a uma taxa de 3000 litros min ? Considere o raio do cilindro igual a r = 0.5 m.

Passo 1

Vamos entender o que a questão está pedindo. Temos um tanque cilíndrico vertical com raio de 0,5 metros, e estamos bombeando o líquido para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto. Queremos saber a que taxa o nível do líquido está diminuindo nesse tanque. Vamos precisar usar conceitos de taxa de variação e volume de cilindro para resolver isso.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cilindro. A fórmula é:
onde:
  • é o volume,
  • é o raio da base do cilindro,
  • é a altura do líquido no tanque.

Passo 3

Estamos interessados em saber como a altura muda em relação ao tempo, ou seja, . Para isso, vamos derivar a fórmula do volume em relação ao tempo:
Aqui, é a taxa de variação do volume do líquido no tanque.

Passo 4

Sabemos que líquidos estão sendo bombeados para fora a uma taxa de 3000 litros por minuto. Precisamos converter isso para metros cúbicos por minuto, já que as unidades do raio estão em metros. Sabemos que:
ú
Então:
O sinal negativo indica que o volume está diminuindo.

Passo 5

Agora, vamos substituir os valores conhecidos na equação derivada:
Calculando :

Passo 6

Isolando :

Resposta

O nível do líquido está diminuindo a uma taxa de aproximadamente 3,82 metros por minuto.

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