Qual a taxa de variação instantânea de f(x)=x^2+3 x em x=-1?

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente encontrar a taxa de variação instantânea da função $ f(x) = x^{2} + 3x $ no ponto onde $ x = -1 $. Isso significa que vamos precisar usar o conceito de derivada, que nos dá a taxa de variação de uma função em um ponto específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a derivada de uma função $ f(x) $ em um ponto $ x $ é representada por $ f’(x) $ e nos mostra a inclinação da tangente à curva nesse ponto. Para encontrar $ f’(x) $, vamos derivar cada termo da função original.

Passo 3

Vamos derivar $ f(x) = x^{2} + 3x $ termo a termo:
  • A derivada de $ x^{2} $ é $ 2x $ (usando a regra do poder, que diz que $ \frac{d}{dx}x^{n} = nx^{n-1} $).
  • A derivada de $ 3x $ é $ 3 $ (porque a derivada de $ ax $ é $ a $).
Então, a derivada da função é:
f(x) = x^2 + 3x

Passo 4

Agora que temos a derivada $ f’(x) = 2x + 3 $, vamos substituir $ x $ por $ -1 $ para encontrar a taxa de variação instantânea nesse ponto:
f'(x) = 2x + 3

Resposta

A taxa de variação instantânea de $ f(x) = x^{2} + 3x $ em $ x = -1 $ é igual a 1.

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