Taxa de variação do volume V de um cubo em relação ao comprimento x de sua aresta é igual a:

Passo 1

Beleza, vamos entender o que a questão está pedindo. Queremos descobrir como o volume $ V $ de um cubo muda quando a medida de uma aresta $ x $ muda. Isso envolve calcular a taxa de variação de $ V $ em relação a $ x $. A matéria envolvida aqui é Cálculo Diferencial, especificamente a derivada de uma função.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar como calcular o volume de um cubo. Um cubo tem todas as arestas com o mesmo comprimento $ x $. Então, a fórmula do volume é:
x

Passo 3

Agora, para encontrar a taxa de variação do volume em relação ao comprimento da aresta, precisamos calcular a derivada de $ V $ em relação a $ x $. A derivada nos diz como uma função muda enquanto seu parâmetro muda. Neste caso, queremos ver como $ V $ muda quando $ x $ muda.

Passo 4

Vamos calcular a derivada de $ V = x^3 $ em relação a $ x $. Usamos a regra do poder para derivadas, que diz que:
V = x^3
Aqui, $ n = 3 $, então:
x

Resposta

A taxa de variação do volume $ V $ de um cubo em relação ao comprimento $ x $ de sua aresta é igual a $ 3x^2 $.

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