Técnica de integração: mudança de variáveis
(2) Calcule:
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos (z) \operatorname{sen}^{5}(z) d z.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(z)\,\operatorname{sen}^{5}(z)\,dz
usando a técnica de mudança de variáveis (substituição).

Passo 2

Escolhemos a substituição
u = \operatorname{sen}(z), \qquad du = \cos(z)\,dz.
Quando z=0, temos u=\operatorname{sen}(0)=0.
Quando z=\tfrac{\pi}{6}, temos u=\operatorname{sen}\bigl(\tfrac{\pi}{6}\bigr)=\tfrac12.

Passo 3

Substituindo na integral, obtém-se
\int_{0}^{\frac{\pi}{6}} \cos(z)\,\operatorname{sen}^{5}(z)\,dz = \int_{u=0}^{u=\frac12} u^{5}\,du.
Esta é uma integral imediata de potência:
\int u^{5}\,du = \frac{u^{6}}{6}.
Logo, avaliando de 0 a \tfrac12:
\left.\frac{u^{6}}{6}\right|_{0}^{\frac12} = \frac{1}{6}\Bigl(\frac12\Bigr)^{6} - 0 = \frac{1}{6}\cdot\frac{1}{64} = \frac{1}{384}.

Resposta

\frac{1}{384}

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