Técnica de integração: mudança de variáveis
(2) Calcule:
(3) Calcule, utilizando mudança de variáveis, as seguintes integrais:
a) \int \sqrt{3 x-2} d x
b) \int \operatorname{sen}^{5}(x) \cos (x) d x
c) \int \frac{3 x}{5+6 x^{2}} d x
d) \int \frac{x}{\left(1+4 x^{2}\right)^{2}} d x
e) \int e^{x} \sqrt{1+e^{x}} d x
f) \int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos ^{2} x} d x
g) \int \operatorname{sen}(x) \sqrt{\cos x} d x
h) \int \frac{1}{1+9 x^{2}} d x
i) \int \operatorname{tg}^{3}(t) \operatorname{sec} ^{2}(t) d t
j) \int \frac{\operatorname{sec} ^{2}(x)}{3+2 \operatorname{tg}(x)} d x
k) \int\left(x+\frac{3}{x-2}\right) d x
l) \int \frac{2 x+3}{x+1} d x
m) \int \frac{x^{2}}{x+1} d x
n) \int \frac{1}{x(\ln x)^{2}} d x
o) \int \frac{2 x+3}{\sqrt{1-4 x^{2}}} d x
Passo 1
O enunciado pede para calcular diversas primitivais usando a técnica de mudança de variáveis. Em cada integral vamos escolher uma substituição adequada u=u(x), calcular du, reescrever a integral em termos de u e então integrar, voltando à variável x ao final.
Passo 2
Para
\int \sqrt{3x-2}\,dx
faça u=3x-2, então du=3\,dx e dx=\tfrac{du}{3}. A integral vira