Técnica de integração: mudança de variáveis
(2) Calcule:
(3) Calcule, utilizando mudança de variáveis, as seguintes integrais:
a) \int \sqrt{3 x-2} d x
b) \int \operatorname{sen}^{5}(x) \cos (x) d x
c) \int \frac{3 x}{5+6 x^{2}} d x
d) \int \frac{x}{\left(1+4 x^{2}\right)^{2}} d x
e) \int e^{x} \sqrt{1+e^{x}} d x
f) \int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos ^{2} x} d x
g) \int \operatorname{sen}(x) \sqrt{\cos x} d x
h) \int \frac{1}{1+9 x^{2}} d x
i) \int \operatorname{tg}^{3}(t) \operatorname{sec} ^{2}(t) d t
j) \int \frac{\operatorname{sec} ^{2}(x)}{3+2 \operatorname{tg}(x)} d x
k) \int\left(x+\frac{3}{x-2}\right) d x
l) \int \frac{2 x+3}{x+1} d x
m) \int \frac{x^{2}}{x+1} d x
n) \int \frac{1}{x(\ln x)^{2}} d x
o) \int \frac{2 x+3}{\sqrt{1-4 x^{2}}} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular diversas primitivais usando a técnica de mudança de variáveis. Em cada integral vamos escolher uma substituição adequada u=u(x), calcular du, reescrever a integral em termos de u e então integrar, voltando à variável x ao final.

Passo 2

Para
\int \sqrt{3x-2}\,dx
faça u=3x-2, então du=3\,dx e dx=\tfrac{du}{3}. A integral vira
\int \sqrt{u}\,\frac{du}{3}=\frac{1}{3}\int u^{\tfrac12}du =\frac{1}{3}\cdot\frac{2}{3}u^{\tfrac32}+C =\frac{2}{9}(3x-2)^{\tfrac32}+C.

Passo 3

Para
\int \operatorname{sen}^5(x)\cos(x)\,dx
use u=\operatorname{sen}(x), du=\cos(x)\,dx. Fica
\int u^5\,du=\frac{u^6}{6}+C =\frac{\operatorname{sen}^6(x)}{6}+C.

Passo 4

Para
\int \frac{3x}{5+6x^2}\,dx
tome u=5+6x^2, du=12x\,dx, logo x\,dx=\tfrac{du}{12}. Então
\int \frac{3x}{u}\,dx =\int \frac{3}{u}\cdot\frac{du}{12} =\frac{1}{4}\int \frac{du}{u} =\frac{1}{4}\ln\bigl|5+6x^2\bigr|+C.

Passo 5

Para
\int \frac{x}{(1+4x^2)^2}\,dx
faça u=1+4x^2, du=8x\,dx, então x\,dx=\tfrac{du}{8}. A integral é
\int \frac{1}{u^2}\frac{du}{8} =\frac{1}{8}\int u^{-2}du =\frac{1}{8}\bigl(-u^{-1}\bigr)+C =-\frac{1}{8(1+4x^2)}+C.

Passo 6

Para
\int e^x\sqrt{1+e^x}\,dx
use u=1+e^x, du=e^x\,dx. Então
\int \sqrt{u}\,du =\frac{2}{3}u^{\tfrac32}+C =\frac{2}{3}(1+e^x)^{\tfrac32}+C.

Passo 7

Para
\int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^2 x}\,dx
observe que \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^2 x}=\operatorname{sen} x\operatorname{sec}^2 x. Ponha u=\cos x, du=-\operatorname{sen} x\,dx. Assim
\int \frac{\operatorname{sen} x}{\cos^2 x}\,dx =-\int u^{-2}du =-\bigl(-u^{-1}\bigr)+C =\frac{1}{\cos x}+C =\operatorname{sec} x+C.

Passo 8

Para
\int \operatorname{sen}(x)\sqrt{\cos x}\,dx
tome u=\cos x, du=-\operatorname{sen} x\,dx. Fica
\int -u^{\tfrac12}du =-\frac{2}{3}u^{\tfrac32}+C =-\frac{2}{3}(\cos x)^{\tfrac32}+C.

Passo 9

Para
\int \frac{1}{1+9x^2}\,dx
reconheça a forma \int\frac{1}{1+a^2x^2}dx=\frac{1}{a}\arctan(ax). Aqui a=3, logo
\int \frac{1}{1+9x^2}\,dx =\frac{1}{3}\arctan(3x)+C.

Passo 10

Para
\int \tan^3(t)\operatorname{sec}^2(t)\,dt
ponha u=\tan t, du=\operatorname{sec}^2 t\,dt. Então
\int u^3\,du =\frac{u^4}{4}+C =\frac{\tan^4(t)}{4}+C.

Passo 11

Para
\int \frac{\operatorname{sec}^2(x)}{3+2\tan(x)}\,dx
use u=3+2\tan x, du=2\operatorname{sec}^2 x\,dx. Fica
\int \frac{1}{u}\frac{du}{2} =\frac{1}{2}\ln\bigl|u\bigr|+C =\frac{1}{2}\ln\bigl|3+2\tan x\bigr|+C.

Passo 12

Para
\int\Bigl(x+\frac{3}{x-2}\Bigr)dx
basta separar:
\int x\,dx +3\int\frac{1}{x-2}dx =\frac{x^2}{2}+3\ln\bigl|x-2\bigr|+C.

Passo 13

Para
\int \frac{2x+3}{x+1}\,dx
faça divisão: 2x+3=2(x+1)+1. Então
\int\Bigl(2+\frac{1}{x+1}\Bigr)dx =2x+\ln\bigl|x+1\bigr|+C.

Passo 14

Para
\int \frac{x^2}{x+1}\,dx
divida x^2=(x+1)(x-1)+1. Logo
\int\Bigl(x-1+\frac{1}{x+1}\Bigr)dx =\frac{x^2}{2}-x+\ln\bigl|x+1\bigr|+C.

Passo 15

Para
\int \frac{1}{x(\ln x)^2}\,dx
ponha u=\ln x, du=\frac{dx}{x}. Obtém-se
\int u^{-2}du =-\frac{1}{u}+C =-\frac{1}{\ln x}+C.

Passo 16

Para
\int \frac{2x+3}{\sqrt{1-4x^2}}\,dx
separe em \displaystyle\int \frac{2x}{\sqrt{1-4x^2}}dx +3\int \frac{1}{\sqrt{1-4x^2}}dx.
  1. Para o primeiro, use u=1-4x^2, du=-8x\,dx e obtenha -\tfrac12\sqrt{1-4x^2}.
  2. Para o segundo, note \int\frac{dx}{\sqrt{1-(2x)^2}}=\tfrac12\arcsin(2x). Multiplicando por 3 dá \tfrac{3}{2}\arcsin(2x).
    Somando,
-\frac12\sqrt{1-4x^2}+\frac{3}{2}\arcsin(2x)+C.

Resposta

a) \displaystyle \frac{2}{9}(3x-2)^{\tfrac32}+C
b) \displaystyle \frac{\operatorname{sen}^6(x)}{6}+C
c) \displaystyle \frac{1}{4}\ln\bigl|5+6x^2\bigr|+C
d) \displaystyle -\frac{1}{8(1+4x^2)}+C
e) \displaystyle \frac{2}{3}(1+e^x)^{\tfrac32}+C
f) \displaystyle \operatorname{sec} x+C
g) \displaystyle -\frac{2}{3}(\cos x)^{\tfrac32}+C
h) \displaystyle \frac{1}{3}\arctan(3x)+C
i) \displaystyle \frac{\tan^4(t)}{4}+C
j) \displaystyle \frac{1}{2}\ln\bigl|3+2\tan x\bigr|+C
k) \displaystyle \frac{x^2}{2}+3\ln\bigl|x-2\bigr|+C
l) \displaystyle 2x+\ln\bigl|x+1\bigr|+C
m) \displaystyle \frac{x^2}{2}-x+\ln\bigl|x+1\bigr|+C
n) \displaystyle -\frac{1}{\ln x}+C
o) \displaystyle -\frac12\sqrt{1-4x^2}+\frac{3}{2}\arcsin(2x)+C

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