Um telefone celular recebe um nível de sinal de 20 \mu \mathrm{~V}, mas deve fornecer uma excursão de 50 mV ao alto-falante que reproduz a voz. Calculemos o ganho de tensão necessário em decibéis.

Passo 1

O enunciado dá que o sinal de entrada é 20\,\mu\mathrm{V} e que a saída desejada é 50\,\mathrm{mV}. A pergunta é: qual o ganho de tensão necessário, expresso em decibéis (dB)?
Informações relevantes:
  • V_{\text{in}} = 20\,\mu\mathrm{V}.
  • V_{\text{out}} = 50\,\mathrm{mV}.
  • Precisamos do ganho de tensão em \mathrm{dB}.

Passo 2

Primeiro convertemos ambas as tensões para volts (mesma unidade facilita a conta):
V_{\text{in}} = 20\times 10^{-6}\,\mathrm{V}
V_{\text{out}} = 50\times 10^{-3}\,\mathrm{V}

Passo 3

Agora a regra para converter ganho de tensão para decibéis. Para sinais elétricos, assumindo que a impedância de entrada e saída são as mesmas (condição usual ao comparar tensões), o ganho em dB é dado por
G_{\mathrm{dB}} = 20\log_{10}\!\left(\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}\right).
Explicação didática do porquê do fator 20: a potência elétrica é proporcional ao quadrado da tensão quando a impedância é a mesma. O ganho em potência em dB é 10\log_{10}(P_{\text{out}}/P_{\text{in}}). Como P\propto V^2, temos
10\log_{10}\!\left(\frac{P_{\text{out}}}{P_{\text{in}}}\right) =10\log_{10}\!\left(\frac{V_{\text{out}}^2}{V_{\text{in}}^2}\right) =20\log_{10}\!\left(\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}}\right).
É por isso que usamos 20\log_{10} para tensões.

Passo 4

Calculamos a razão de tensões:
\frac{V_{\text{out}}}{V_{\text{in}}} = \frac{50\times 10^{-3}}{20\times 10^{-6}} = \frac{50}{20}\times 10^{-3-(-6)} =2{,}5\times 10^{3} =2500.

Passo 5

Agora colocamos na fórmula em dB. Primeiro calculamos o logaritmo:
\log_{10}(2500)=\log_{10}\!\left(2{,}5\times 10^{3}\right)=\log_{10}(2{,}5)+3.
Para \log_{10}(2{,}5) podemos usar a identidade \log_{10}(2{,}5)=\log_{10}(25)-1=2\log_{10}(5)-1 e o valor conhecido \log_{10}(5)\approx 0{,}69897. Assim
\log_{10}(2{,}5)\approx 2\times 0{,}69897 - 1 = 0{,}39794,
portanto
\log_{10}(2500)\approx 0{,}39794 + 3 = 3{,}39794.

Passo 6

Multiplicamos por 20 para obter o ganho em dB:
G_{\mathrm{dB}} = 20\times 3{,}39794 \approx 67{,}9588\\ \mathrm{dB}.
Arredondando de forma prática para uma casa decimal, isso dá 68{,}0\\ \mathrm{dB}. Dá para anotar também 67{,}96\\ \mathrm{dB} se preferir mais precisão.

Resposta

67{,}96\\ \mathrm{dB}

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