1. A temperatura média numa cidade dos EUA é modelada por f(t)=55+35 \operatorname{sen}\left(2 \pi\left(\frac{t-90}{365}\right)\right), t dado em dias e f(t) em graus Fahrenheit.
    (a) Considerando-se t=0 o primeiro dia do inverno, depois de quantos dias ocorre a temperatura máxima?
    (b) Quando ocorre o dia mais frio?
Analisando a função trigonométrica f(t)=55+35 \operatorname{sen}\left(2 \pi\left(\frac{t-90}{365}\right)\right), observa-se que o máximo ocorre quando sen \left(2 \pi\left(\frac{t-90}{365}\right)\right)=1 e o mínimo quando sen \left(2 \pi\left(\frac{t-90}{365}\right)\right)=-1, pois a função trigonométrica é limitada. Assim,
\begin{gathered} \operatorname{sen}\left(2 \pi\left(\frac{t-90}{365}\right)\right)=k, k=1 e-1 \\\\ 2 \pi\left(\frac{t-90}{365}\right)=\operatorname{arcsen} k \\\ t=\frac{365}{2 \pi} \operatorname{arcsen} k+90 \end{gathered}
k=1 \Rightarrow t=181.25
k=-1 \Rightarrow t=363.75
(a) Aproximadamente depois de 181 dias.
(b) O dia mais frio ocorre aproximadamente depois de 364 dias.

Passo 1

O enunciado dá a função
f(t)=55+35\sin\!\Bigl(2\pi\frac{t-90}{365}\Bigr),
onde t é contado em dias desde o início do inverno. Queremos (a) o valor de t que torna f(t) máxima e (b) o valor de t que torna f(t) mínima. O conteúdo usado é o estudo de máxima e mínima de função periódica do tipo \sin.

Passo 2

A temperatura atinge o máximo quando
\sin\!\Bigl(2\pi\frac{t-90}{365}\Bigr)=1
e o mínimo quando
\sin\!\Bigl(2\pi\frac{t-90}{365}\Bigr)=-1.
Chamando
A=2\pi\frac{t-90}{365},
temos as equações gerais
A=\frac\pi2+2\pi n\quad(\text{máximo}), \qquad A=\frac{3\pi}{2}+2\pi n\quad(\text{mínimo}),áí
com n\in\mathbb{Z}.

Passo 3

Isolando t,
t=\frac{365}{2\pi}\,A+90.
Para o primeiro máximo escolhemos n=0 e A=\pi/2:
t_{\max} =\frac{365}{2\pi}\,\frac\pi2+90 =\frac{365}{4}+90 =91{,}25+90 =181{,}25.
Para o primeiro mínimo tomamos n=0 e A=3\pi/2:
t_{\min} =\frac{365}{2\pi}\,\frac{3\pi}{2}+90 =\frac{3\cdot365}{4}+90 =273{,}75+90 =363{,}75.

Passo 4

Como t está em dias inteiros desde o início do inverno, aproximamos:
t_{\max}\approx181\text{ dias}, \qquad t_{\min}\approx364\text{ dias}.

Resposta

(a) Aproximadamente após 181 dias.
(b) Aproximadamente após 364 dias.

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