1. Um modelo presa-predador consiste de duas espécies, x e y, onde x preda y. Uma solução típica para tal modelo é da forma x(t)=10+2 \operatorname{sen}\left(t+\frac{\pi}{2}\right), y(t)=20+5 \cos \left(t+\frac{\pi}{2}\right).
    (a) Encontrar máximo e/ou mínimo para \mathrm{x}(\mathrm{t}) e \mathrm{y}(\mathrm{t}).
As funções x(t) e y(t) são funções trigonométricas e atingem seus máximos quando \operatorname{sen}\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=1 e \cos \left(t+\frac{\pi}{2}\right)=1. Da mesma forma, os mínimos são atingidos quando \operatorname{sen}\left(t+\frac{\pi}{2}\right)=-1 e \cos \left(t+\frac{\pi}{2}\right)=-1. Assim,
\begin{array}{cc} x_{\text {máx }}=12 & y_{\text {máx }}=25 \\ x_{\text {min }}=8 & y_{\text {min }}=15 \end{array}áá

Passo 1

O enunciado nos dá as funções
x(t)=10 + 2\sin\!\bigl(t+\tfrac{\pi}{2}\bigr), \qquad y(t)=20 + 5\cos\!\bigl(t+\tfrac{\pi}{2}\bigr).
O conteúdo é análise de extremos de funções trigonométricas. Lembramos que \sin e \cos variam entre -1 e 1, atingindo 1 no máximo e -1 no mínimo.

Passo 2

Para encontrar o máximo de x(t), note que ele ocorre quando
\sin\!\bigl(t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
Substituindo em x(t),
x_{\max}=10 + 2\cdot 1 = 12.

Passo 3

O mínimo de x(t) ocorre quando
\sin\!\bigl(t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1.
Logo,
x_{\min}=10 + 2\cdot(-1) = 8.

Passo 4

Para o máximo de y(t), basta ter
\cos\!\bigl(t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=1.
Assim,
y_{\max}=20 + 5\cdot 1 = 25.

Passo 5

O mínimo de y(t) ocorre quando
\cos\!\bigl(t+\tfrac{\pi}{2}\bigr)=-1.
Portanto,
y_{\min}=20 + 5\cdot(-1) = 15.

Resposta

x_{\max}=12
x_{\min}=8
y_{\max}=25
y_{\min}=15

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