A temperatura média de uma região oscila ao longo do dia de acordo com a função
onde t é o tempo em horas (com
às 6h da manhã) e
é a temperatura em graus Celsius. Determine:
e) a temperatura mínima atingida.
e) a temperatura mínima atingida.
Passo 1
O enunciado nos dá a função da temperatura média ao longo do dia
onde
é o tempo em horas medido a partir de
às 6h da manhã. A pergunta (e) pede a temperatura mínima atingida — ou seja, o menor valor que
assume quando
varia por todos os reais (ou, na prática, ao longo de um dia).
Passo 2
Vamos lembrar uma propriedade fundamental da função cosseno que é a chave aqui.
A propriedade: para qualquer número real
vale
Isto vem da definição do cosseno no círculo unitário: as coordenadas variam entre
e
.
Aplicando isso à nossa função, substituímos
pelo seu menor valor
para obter o menor possível de
. Primeiro, observe o termo móvel:
tem amplitude
, logo varia entre
e
. Portanto
varia entre
Passo 3
Calcule os extremos explicitamente:
Assim, a temperatura mínima atingida é
.
(Pra completar o raciocínio: a temperatura mínima ocorre quando
, ou seja quando
, o que dá
. Tomando
obtém-se
, isto é às 18h — mas isso é só um suplemento; a resposta pedida foi o valor mínimo.)