A temperatura média de uma região oscila ao longo do dia de acordo com a função T(t)=15+10 \cos \frac{\pi t}{12} onde t é o tempo em horas (com t=0 às 6h da manhã) e T(t) é a temperatura em graus Celsius. Determine:
e) a temperatura mínima atingida.

Passo 1

O enunciado nos dá a função da temperatura média ao longo do dia
T(t)=15+10\cos\frac{\pi t}{12},
onde t é o tempo em horas medido a partir de t=0 às 6h da manhã. A pergunta (e) pede a temperatura mínima atingida — ou seja, o menor valor que T(t) assume quando t varia por todos os reais (ou, na prática, ao longo de um dia).

Passo 2

Vamos lembrar uma propriedade fundamental da função cosseno que é a chave aqui.
A propriedade: para qualquer número real x vale
-1 \le \cos x \le 1.
Isto vem da definição do cosseno no círculo unitário: as coordenadas variam entre -1 e 1.
Aplicando isso à nossa função, substituímos \cos pelo seu menor valor -1 para obter o menor possível de T(t). Primeiro, observe o termo móvel:
10\cos\frac{\pi t}{12}
tem amplitude |10|, logo varia entre -10 e 10. Portanto T(t) varia entre
15 + (-10) \quad\text{e}\quad 15 + 10.

Passo 3

Calcule os extremos explicitamente:
T_{\min}=15-10=5, \qquad T_{\max}=15+10=25.
Assim, a temperatura mínima atingida é \,5^\circ\mathrm{C}.
(Pra completar o raciocínio: a temperatura mínima ocorre quando \cos\frac{\pi t}{12}=-1, ou seja quando \frac{\pi t}{12}=\pi+2\pi k, o que dá t=12+24k. Tomando k=0 obtém-se t=12, isto é às 18h — mas isso é só um suplemento; a resposta pedida foi o valor mínimo.)

Resposta

5^\circ\mathrm{C}

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