A temperatura T em uma esfera de metal é inversamente proporcional à distância do centro da
(a) Determine T(x, y, z).
(b) Determine a taxa de variação de T em (1,2,2) em direção ao ponto (2,1,3).
(c) Mostre que em qualquer ponto da esfera a direção de maior crescimento na temperatura é dada por um vetor que aponta para a origem.

Passo 1

O enunciado diz que a temperatura T numa esfera metálica é inversamente proporcional à distância do centro (origem). Precisamos:
– (a) escrever T(x,y,z);
– (b) achar a taxa de variação de T em (1,2,2) na direção do ponto (2,1,3);
– (c) mostrar que a direção de maior crescimento de T em qualquer ponto é apontar para a origem.
O conteúdo principal aqui é gradiente e derivada direcional.

Passo 2

Seja r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} a distância do ponto (x,y,z) ao centro. Como T\propto1/r, escrevemos
T(x,y,z)=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
onde k é a constante de proporcionalidade.

Passo 3

Calculamos o gradiente de T. Note que
T(x,y,z) = k\,(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}.
Logo, usando derivada de potência e regra da cadeia,
\nabla T = \Bigl(\frac{\partial T}{\partial x},\,\frac{\partial T}{\partial y},\,\frac{\partial T}{\partial z}\Bigr) = -\frac{k}{2}(x^2+y^2+z^2)^{-3/2}\,(2x,2y,2z) = -\frac{k\,(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}}.

Passo 4

Para (b), o ponto é P=(1,2,2) e o ponto-alvo é Q=(2,1,3). O vetor direção é
\overrightarrow{PQ}=(2-1,\,1-2,\,3-2)=(1,-1,1),
com norma \sqrt{1^2+(-1)^2+1^2}=\sqrt{3}. Portanto o vetor unitário é
\mathbf u = \frac{1}{\sqrt{3}}\,(1,-1,1).
Em P temos x^2+y^2+z^2=1+4+4=9, então
\nabla T(1,2,2) = -\frac{k\,(1,2,2)}{9^{3/2}} = -\frac{k\,(1,2,2)}{27}.
A derivada direcional é
D_{\mathbf u}T = \nabla T(1,2,2)\cdot\mathbf u = -\frac{k}{27}\,(1,2,2)\cdot\frac{(1,-1,1)}{\sqrt{3}} = -\frac{k}{27\sqrt{3}}\,(1-2+2) = -\frac{k}{27\sqrt{3}}.

Passo 5

Para (c), a direção de maior crescimento de T em qualquer ponto é a direção de \nabla T. Como
\nabla T(x,y,z) = -\frac{k\,(x,y,z)}{(x^2+y^2+z^2)^{3/2}},
esse vetor é paralelo a (-x,-y,-z), que é exatamente a direção que aponta do ponto (x,y,z) para a origem.

Resposta

(a) \displaystyle T(x,y,z)=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.
(b) \displaystyle D_{\mathbf u}T(1,2,2)=-\frac{k}{27\sqrt{3}}.
(c) A direção de maior crescimento é a direção de \nabla T, que aponta para a origem.

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