A temperatura T em uma esfera de metal é inversamente proporcional à distância do centro da
(a) Determine T(x, y, z).
(b) Determine a taxa de variação de T em (1,2,2) em direção ao ponto (2,1,3).
(c) Mostre que em qualquer ponto da esfera a direção de maior crescimento na temperatura é dada por um vetor que aponta para a origem.
Passo 1
O enunciado diz que a temperatura T numa esfera metálica é inversamente proporcional à distância do centro (origem). Precisamos:
– (a) escrever T(x,y,z);
– (b) achar a taxa de variação de T em (1,2,2) na direção do ponto (2,1,3);
– (c) mostrar que a direção de maior crescimento de T em qualquer ponto é apontar para a origem.
O conteúdo principal aqui é gradiente e derivada direcional.
Passo 2
Seja r = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2} a distância do ponto (x,y,z) ao centro. Como T\propto1/r, escrevemos
T(x,y,z)=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}
onde k é a constante de proporcionalidade.
Passo 3
Calculamos o gradiente de T. Note que
T(x,y,z) = k\,(x^2+y^2+z^2)^{-1/2}.
Logo, usando derivada de potência e regra da cadeia,
esse vetor é paralelo a (-x,-y,-z), que é exatamente a direção que aponta do ponto (x,y,z) para a origem.
Resposta
(a) \displaystyle T(x,y,z)=\frac{k}{\sqrt{x^2+y^2+z^2}}.
(b) \displaystyle D_{\mathbf u}T(1,2,2)=-\frac{k}{27\sqrt{3}}.
(c) A direção de maior crescimento é a direção de \nabla T, que aponta para a origem.