Determine a taxa de variação máxima de f no ponto P dado e a direção em que isso ocorre.
f(x, y, z)=\operatorname{tg}(x+y+z), P=(-5,1,1).

Passo 1

O enunciado pede a taxa de variação máxima de f em P e a direção em que ela ocorre. O conteúdo envolvido é derivada direcional e gradiente: sabemos que a máxima derivada direcional em um ponto vale o norma do gradiente nesse ponto, e a direção associada é a do próprio gradiente.

Passo 2

Vamos calcular o gradiente de
f(x,y,z)=\tan(x+y+z).
Como \tan(u)'= \operatorname{sec}^2(u), pelo uso da cadeia temos
\nabla f(x,y,z) =\bigl(\partial_x f,\partial_y f,\partial_z f\bigr) =\operatorname{sec}^2(x+y+z)\,(1,1,1).

Passo 3

No ponto P=(-5,1,1) a soma das coordenadas é
x+y+z=-5+1+1=-3,
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\nabla f(P) =\operatorname{sec}^2(-3)\,(1,1,1) =\operatorname{sec}^2(3)\,(1,1,1),
pois \operatorname{sec}^2 é função par.

Passo 4

A taxa de variação máxima é a norma de \nabla f(P):
\|\nabla f(P)\| =\bigl\|\operatorname{sec}^2(3)\,(1,1,1)\bigr\| =\operatorname{sec}^2(3)\,\sqrt{1^2+1^2+1^2} =\sqrt{3}\,\operatorname{sec}^2(3).
A direção onde isso ocorre é o vetor unitário na direção de \nabla f(P), ou seja
\frac{\nabla f(P)}{\|\nabla f(P)\|} =\frac{(1,1,1)}{\sqrt{3}}.

Resposta

A taxa de variação máxima em P é
\sqrt{3}\,\operatorname{sec}^2(3)
e ocorre na direção
\bigl(\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}},\tfrac{1}{\sqrt{3}}\bigr).

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