Qual é o tempo médio entre colisões sucessivas para elétrons em um fio de alumínio?

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para encontrar o tempo médio entre colisões sucessivas para elétrons em um fio de alumínio. Isso está relacionado ao estudo da condutividade elétrica em metais. Para resolver isso, vamos precisar aplicar alguns conceitos da física dos semicondutores e do modelo de Drude, que descreve como os elétrons se movem dentro de um metal. Vamos precisar saber:
  • A condutividade elétrica do alumínio.
  • A densidade de elétrons no alumínio.
  • A massa efetiva dos elétrons.
  • A carga elementar dos elétrons.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa o tempo médio entre colisões. Imagine os elétrons como partículas que se movem livremente pelo metal, mas acabam colidindo com átomos ou outras imperfeições no material. Esse tempo médio entre colisões é chamado de tempo de relaxação, representado por τ (táu).

Passo 3

Para encontrar τ, usamos a fórmula da condutividade elétrica no modelo de Drude:
σ = n e^2 τm
Onde:
  • $ σ $ é a condutividade elétrica,
  • $ n $ é a densidade de elétrons,
  • $ e $ é a carga do elétron,
  • $ τ $ é o tempo médio entre colisões,
  • $ m $ é a massa efetiva do elétron.
Queremos isolar $ τ $, então rearranjamos a fórmula:
σ

Passo 4

Agora, precisamos dos valores para cada uma dessas grandezas no alumínio:
  1. Condutividade elétrica ($ σ $): O alumínio tem uma condutividade de aproximadamente $ 3.5 \times 10^7 , S/m $.
  2. Densidade de elétrons ($ n $): No alumínio, geralmente consideramos 3 elétrons de condução por átomo. A densidade atômica do alumínio é cerca de $ 6 \times 10^{28} , elétrons/m^3 $.
  3. Massa efetiva ($ m $): Para simplificação, usamos a massa do elétron livre, $ 9.11 \times 10^{-31} , kg $.
  4. Carga do elétron ($ e $): $ 1.6 \times 10^{-19} , C $.

Passo 5

Vamos substituir esses valores na fórmula:
τ = 3.5 times 10^7 , S/m times 9.11 times 10^-31 , kg6 times 10^28 , elétrons/m^3 times (1.6 times 10^-19 , C)^2 é

Passo 6

Calculando o denominador primeiro:
n e^2 = 6 times 10^28 times (1.6 times 10^-19)^2 = 6 times 10^28 times 2.56 times 10^-38 = 1.536 times 10^-9 , C^2/m^3

Passo 7

Agora, o numerador:
σ m = 3.5 times 10^7 times 9.11 times 10^-31 = 3.1885 times 10^-23 , S kg/m

Passo 8

Finalmente, dividindo numerador pelo denominador:
τ = 3.1885 times 10^-231.536 times 10^-9 approx 2.075 times 10^-14 , segundos

Resposta

O tempo médio entre colisões sucessivas para elétrons em um fio de alumínio é aproximadamente $ 2.07 \times 10^{-14} $ segundos.

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