O tempo (em meses) que beneficiários permanecem em um programa de auxílio segue uma distribuição de Lomax com parâmetro de escala unitário e parâmetro de forma
. A função de densidade é dada por:
Sabe-se que a média populacional desta distribuição é
.
(a) Obtenha o estimador de momentos,
, para o parâmetro
. (2,0 pontos)
(b) Uma amostra aleatória de 4 beneficiários apresentou os seguintes tempos:
. Calcule a estimativa de momentos para
. ( 1,0 ponto)
(a) Obtenha o estimador de momentos,
(b) Uma amostra aleatória de 4 beneficiários apresentou os seguintes tempos:
Passo 1
O enunciado dá a densidade da distribuição Lomax com parâmetro de escala igual a 1 e parâmetro de forma
:
Também informa que a média populacional é
O que se pede:
- (a) Obter o estimador pelo método dos momentos
para . - (b) Aplicar esse estimador à amostra com
observações e calcular o valor numérico da estimativa.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
- Fórmula da média teórica
. - Amostra:
, , , . - Tamanho da amostra:
.
Passo 2
Explicando o método dos momentos (passo a passo, sem pressa): a ideia básica é igualar o momento amostral (aqui, o primeiro momento, ou seja, a média amostral) ao momento teórico correspondente (a média populacional) e resolver essa igualdade para o parâmetro desconhecido.
Definir a média amostral:
Pelo método dos momentos, impõe-se
No nosso caso, substituímos a expressão dada para
:
Agora vamos isolar
. Isso é só álgebra simples: multiplicar ambos os lados por
e depois isolar
.
Passo 3
Resolver a igualdade para
. Partindo de
invertemos ambos os lados:
Somando 1 em ambos os lados:
Portanto o estimador de momentos de
é
Comentário didático: aqui
é a média da amostra; substituindo a média amostral obtemos uma estimativa plug-in para
. Repare que é necessário
(o que ocorre com variáveis positivas), e que como
a média teórica é finita — consistente com o uso do momento.
Passo 4
Calcular a média amostral para os dados fornecidos. Somando as observações:
Dividindo pelo tamanho da amostra
:
Passo 5
Substituir
na fórmula do estimador:
Verificação rápida:
, então a condição
está respeitada pela estimativa.
Resposta
(a)
(b)
(b)