O tempo (em meses) que beneficiários permanecem em um programa de auxílio segue uma distribuição de Lomax com parâmetro de escala unitário e parâmetro de forma \alpha>1. A função de densidade é dada por:
f(x ; \alpha)=\frac{\alpha}{(1+x)^{\alpha+1}}, \quad x>0 .
Sabe-se que a média populacional desta distribuição é E(X)=\frac{1}{\alpha-1}.
(a) Obtenha o estimador de momentos, \hat{\alpha}_{M M}, para o parâmetro \alpha. (2,0 pontos)
(b) Uma amostra aleatória de 4 beneficiários apresentou os seguintes tempos: \{1 ; 2 ; 0,5 ; 1,5\}. Calcule a estimativa de momentos para \alpha. ( 1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá a densidade da distribuição Lomax com parâmetro de escala igual a 1 e parâmetro de forma \alpha>1:
f(x;\alpha)=\frac{\alpha}{(1+x)^{\alpha+1}},\quad x>0.
Também informa que a média populacional é
E(X)=\frac{1}{\alpha-1}.
O que se pede:
  • (a) Obter o estimador pelo método dos momentos \hat{\alpha}_{MM} para \alpha.
  • (b) Aplicar esse estimador à amostra com n=4 observações \{1 ; 2 ; 0,5 ; 1,5\} e calcular o valor numérico da estimativa.
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Fórmula da média teórica \;E(X)=\dfrac{1}{\alpha-1}.
  • Amostra: x_1=1, x_2=2, x_3=0,5, x_4=1,5.
  • Tamanho da amostra: n=4.

Passo 2

Explicando o método dos momentos (passo a passo, sem pressa): a ideia básica é igualar o momento amostral (aqui, o primeiro momento, ou seja, a média amostral) ao momento teórico correspondente (a média populacional) e resolver essa igualdade para o parâmetro desconhecido.
Definir a média amostral:
\bar{X}=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i.
Pelo método dos momentos, impõe-se
\bar{X}=E(X).
No nosso caso, substituímos a expressão dada para E(X):
\bar{X}=\frac{1}{\alpha-1}.
Agora vamos isolar \alpha. Isso é só álgebra simples: multiplicar ambos os lados por \alpha-1 e depois isolar \alpha.

Passo 3

Resolver a igualdade para \alpha. Partindo de
\bar{X}=\frac{1}{\alpha-1},
invertemos ambos os lados:
\frac{1}{\bar{X}}=\alpha-1.
Somando 1 em ambos os lados:
\alpha=1+\frac{1}{\bar{X}}.
Portanto o estimador de momentos de \alpha é
\hat{\alpha}_{MM}=1+\frac{1}{\bar{X}}.
Comentário didático: aqui \bar{X} é a média da amostra; substituindo a média amostral obtemos uma estimativa plug-in para \alpha. Repare que é necessário \bar{X}>0 (o que ocorre com variáveis positivas), e que como \alpha>1 a média teórica é finita — consistente com o uso do momento.

Passo 4

Calcular a média amostral para os dados fornecidos. Somando as observações:
\sum_{i=1}^{4} x_i = 1 + 2 + 0,5 + 1,5 = 5.
Dividindo pelo tamanho da amostra n=4:
\bar{X}=\frac{5}{4}=1,25.

Passo 5

Substituir \bar{X} na fórmula do estimador:
\hat{\alpha}_{MM}=1+\frac{1}{\bar{X}}=1+\frac{1}{5/4}=1+\frac{4}{5}=1+\frac{4}{5}=\frac{9}{5}=1,8.
Verificação rápida: \hat{\alpha}_{MM}=1,8>1, então a condição \alpha>1 está respeitada pela estimativa.

Resposta

(a) \displaystyle \hat{\alpha}_{MM}=1+\frac{1}{\bar{X}}
(b) \displaystyle \hat{\alpha}_{MM}=1,8

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