Um componente de precisão tem seu tempo de resposta modelado pela distribuição Exponencial Inversa com parâmetro \theta>0. A função de densidade é dada por:
f(x ; \theta)=\frac{\theta}{x^{2}} e^{-\frac{\theta}{x}}, \quad x>0 .
(a) Determine o Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) para o parâmetro \theta. (3,0 pontos)
(b) Se os tempos observados em 3 testes foram \{0,1 ; 0,2 ; 0,5\}, qual a estimativa de MV para \theta ? ( 1,0 ponto)

Passo 1

O enunciado dá a função densidade
f(x;\theta)=\frac{\theta}{x^{2}}e^{-\frac{\theta}{x}},\qquad x>0,\\ \theta>0,
e pede duas coisas:
  • (a) determinar o Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) para \theta a partir de uma amostra x_1,\dots,x_n;
  • (b) calcular esse estimador quando os tempos observados são \{0,1;\\\ 0,2;\\\ 0,5\} (interpreto esses números como decimais: 0,1=0{,}1,\;0,2=0{,}2,\;0,5=0{,}5).
Informações relevantes que temos: a amostra é composta por observações independentes x_i>0; o parâmetro \theta>0.

Passo 2

Vamos construir a função verossimilhança para uma amostra independente x_1,\dots,x_n. A verossimilhança é o produto das densidades:
L(\theta)=\prod_{i=1}^{n} f(x_i;\theta)=\prod_{i=1}^{n}\left(\frac{\theta}{x_i^{2}} e^{-\frac{\theta}{x_i}}\right).
Explicando cada parte: \theta é o parâmetro desconhecido; x_i são as observações; multiplicamos porque as observações são independentes.
Para simplificar cálculos, trabalhamos com o log-verossimilhança (isso transforma produto em soma e preserva o ponto de máximo):
\ell(\theta)=\ln L(\theta)=\sum_{i=1}^{n}\left(\ln\theta -2\ln x_i -\frac{\theta}{x_i}\right).
Agora separamos os termos:
\ell(\theta)=n\ln\theta -2\sum_{i=1}^{n}\ln x_i -\theta\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}.
Aqui \sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i} é a soma dos inversos das observações — atenção, isso aparecerá na estimativa.

Passo 3

Para achar o máximo da verossimilhança, derivamos \ell(\theta) em relação a \theta e igualamos a zero. Calculando a derivada:
\frac{d\ell}{d\theta}=\frac{n}{\theta}-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}.
Igualando a zero para obter o candidato a máximo:
\frac{n}{\theta}-\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}=0 \quad\Longrightarrow\quad \hat{\theta}_{\text{MV}}=\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}.
Explicando: isolou-se \theta multiplicando ambos os lados por \theta e rearranjando.
Para garantir que é um máximo, verificamos a segunda derivada:
\frac{d^{2}\ell}{d\theta^{2}}=-\frac{n}{\theta^{2}}<0
para \theta>0. Como a segunda derivada é negativa, o crítico encontrado é de fato um máximo local (e único), logo é o EMV.

Passo 4

Agora aplicamos a fórmula aos dados fornecidos \{0{,}1,\;0{,}2,\;0{,}5\}. Primeiro calculamos os inversos:
\frac{1}{0{,}1}=10,\qquad \frac{1}{0{,}2}=5,\qquad \frac{1}{0{,}5}=2.
A soma dos inversos é
\sum_{i=1}^{3}\frac{1}{x_i}=10+5+2=17.
Como n=3, a estimativa é
\hat{\theta}_{\text{MV}}=\frac{3}{17}.
Em forma decimal aproximada:
\hat{\theta}_{\text{MV}}\approx 0{,}17647.

Resposta

(a) \displaystyle \hat{\theta}_{\text{MV}}=\frac{n}{\displaystyle\sum_{i=1}^{n}\frac{1}{x_i}}
(b) \displaystyle \hat{\theta}_{\text{MV}}=\frac{3}{17}\approx 0{,}17647

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