Um componente de precisão tem seu tempo de resposta modelado pela distribuição Exponencial Inversa com parâmetro
. A função de densidade é dada por:
(a) Determine o Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) para o parâmetro
. (3,0 pontos)
(b) Se os tempos observados em 3 testes foram
, qual a estimativa de MV para
? ( 1,0 ponto)
(b) Se os tempos observados em 3 testes foram
Passo 1
O enunciado dá a função densidade
e pede duas coisas:
- (a) determinar o Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) para
a partir de uma amostra ; - (b) calcular esse estimador quando os tempos observados são
(interpreto esses números como decimais: ).
Informações relevantes que temos: a amostra é composta por observações independentes
; o parâmetro
.
Passo 2
Vamos construir a função verossimilhança para uma amostra independente
. A verossimilhança é o produto das densidades:
Explicando cada parte:
é o parâmetro desconhecido;
são as observações; multiplicamos porque as observações são independentes.
Para simplificar cálculos, trabalhamos com o log-verossimilhança (isso transforma produto em soma e preserva o ponto de máximo):
Agora separamos os termos:
Aqui
é a soma dos inversos das observações — atenção, isso aparecerá na estimativa.
Passo 3
Para achar o máximo da verossimilhança, derivamos
em relação a
e igualamos a zero. Calculando a derivada:
Igualando a zero para obter o candidato a máximo:
Explicando: isolou-se
multiplicando ambos os lados por
e rearranjando.
Para garantir que é um máximo, verificamos a segunda derivada:
para
. Como a segunda derivada é negativa, o crítico encontrado é de fato um máximo local (e único), logo é o EMV.
Passo 4
Agora aplicamos a fórmula aos dados fornecidos
. Primeiro calculamos os inversos:
A soma dos inversos é
Como
, a estimativa é
Em forma decimal aproximada:
Resposta
(a)
(b)