de qualquer estado inicial \boldsymbol{x}_{0} até a origem em tempo mínimo.
Passo 1
Temos o sistema double-integrator
\dot x_{1} = x_{2},\qquad \dot x_{2} = u,
com restrição |u(t)|\le1. Queremos levar qualquer estado inicial \,(x_{1}(0),x_{2}(0)) até a origem no menor tempo possível. Esse é um problema clássico de controle ótimo em tempo mínimo, e vamos resolvê-lo aplicando o Princípio do Máximo de Pontryagin.
Passo 2
Formulamos o custo
J = \int_{0}^{T}1\,dt = T,
isto é, a Lagrangiana é L=1. Na formulação padrão para tempo mínimo escolhemos \lambda_{0}=-1 e definimos o Hamiltoniano
isto é, controle bang–bang, possivelmente com uma única troca de sinal quando (\lambda_{2}(t)] atravessa zero.
Passo 4
Como \lambda_{2}(t) é afim em t, ela muda de sinal no máximo uma vez. Logo a estratégia ótima é: aplicar u=\pm1 até o instante \tau em que \lambda_{2}(\tau)=0, e daí em diante inverter o sinal de u até T. Resta agora caracterizar a curva de troca no espaço de estados (x_{1},x_{2}).
Passo 5
Suponha que em [0,\tau] usemos u=u_{1}=\pm1 e em [\tau,T] u=u_{2}=-\,u_{1}. Integramos cinemática em cada fase:
Eliminando T e \tau obtém-se a condição de comutação no espaço (x_{1}(0),x_{2}(0)):
x_{2}(0)^{2} + 2\,x_{1}(0) = 0.
Esse é o switching curve: quem estiver sobre ela troca de sinal em t=0; quem estiver acima aplica primeiro frenagem, quem estiver abaixo aplica primeiro aceleração.
Passo 6
Em forma de realimentação, definimos
\Delta(x_{1},x_{2}) \;=\; x_{2}^{2} + 2\,x_{1}.
O controle ótimo é bang–bang com uma única troca sobre \Delta=0\):
\[u^{*}(x_{1},x_{2}) = \begin{cases} \;+\!1, & \Delta(x_{1},x_{2})<0,\\\\ -\!1, & \Delta(x_{1},x_{2})>0, \end{cases}
ou seja,
– Se x_{2}^{2}+2x_{1}<0\], então \(u=+1
– Se x_{2}^{2}+2x_{1}>0, então u=-1
e quando x_{2}^{2}+2x_{1}=0 ocorre a troca de bang.
Resposta
O controle ótimo em tempo mínimo satisfazido \lvert u\rvert\le1\) é bang–bang com troca única sobre a curva
\[x_{2}^{2}+2\,x_{1}=0,