Tempo mínimo
  1. Encontre o controle ótimo satisfatório
|u(t)| \leq 1
que transfere o sistema
\begin{aligned} & \dot{x}_{1}(t)=x_{2}(t) \\\ & \dot{x}_{2}(t)=u(t) \end{aligned}
de qualquer estado inicial \boldsymbol{x}_{0} até a origem em tempo mínimo.

Passo 1

Temos o sistema double-integrator
\dot x_{1} = x_{2},\qquad \dot x_{2} = u,
com restrição |u(t)|\le1. Queremos levar qualquer estado inicial \,(x_{1}(0),x_{2}(0)) até a origem no menor tempo possível. Esse é um problema clássico de controle ótimo em tempo mínimo, e vamos resolvê-lo aplicando o Princípio do Máximo de Pontryagin.

Passo 2

Formulamos o custo
J = \int_{0}^{T}1\,dt = T,
isto é, a Lagrangiana é L=1. Na formulação padrão para tempo mínimo escolhemos \lambda_{0}=-1 e definimos o Hamiltoniano
H = \lambda_{0}L + \lambda_{1}x_{2} + \lambda_{2}u = -1 + \lambda_{1}x_{2} + \lambda_{2}\,u.
O Princípio do Máximo diz que, para cada t, u(t) deve maximizar H sujeito a |u|\le1.

Passo 3

Escrevemos as equações adjuntas
\dot\lambda_{1} = -\frac{\partial H}{\partial x_{1}} = 0 \qquad\Longrightarrow\qquad \lambda_{1}(t)=p\quad(\text{constante}),
\dot\lambda_{2} = -\frac{\partial H}{\partial x_{2}} = -\lambda_{1} = -p \qquad\Longrightarrow\qquad \lambda_{2}(t) = -p\,t + q,
onde p,q\) são constantes a determinar. A função de comutação é \[\varphi(t) \;=\;\frac{\partial H}{\partial u} \;=\;\lambda_{2}(t).
Para maximizar H, escolhemos
u^{*}(t) = \begin{cases} +1, & \lambda_{2}(t)>0,\\\\ -1, & \lambda_{2}(t)<0, \end{cases}
isto é, controle bang–bang, possivelmente com uma única troca de sinal quando (\lambda_{2}(t)] atravessa zero.

Passo 4

Como \lambda_{2}(t) é afim em t, ela muda de sinal no máximo uma vez. Logo a estratégia ótima é: aplicar u=\pm1 até o instante \tau em que \lambda_{2}(\tau)=0, e daí em diante inverter o sinal de u até T. Resta agora caracterizar a curva de troca no espaço de estados (x_{1},x_{2}).

Passo 5

Suponha que em [0,\tau] usemos u=u_{1}=\pm1 e em [\tau,T] u=u_{2}=-\,u_{1}. Integramos cinemática em cada fase:
– De 0 a \tau:
x_{2}(\tau)=x_{2}(0)+u_{1}\,\tau, \quad x_{1}(\tau)=x_{1}(0)+x_{2}(0)\,\tau+\tfrac12\,u_{1}\,\tau^{2}.
– De \tau a T: impomos x_{2}(T)=0 e x_{1}(T)=0. Da segunda fase vem
T-\tau = -\,x_{2}(\tau)\,/\,u_{2}
e
0 = x_{1}(\tau) + x_{2}(\tau)\,(T-\tau) + \tfrac12\,u_{2}\,(T-\tau)^{2}.
Eliminando T e \tau obtém-se a condição de comutação no espaço (x_{1}(0),x_{2}(0)):
x_{2}(0)^{2} + 2\,x_{1}(0) = 0.
Esse é o switching curve: quem estiver sobre ela troca de sinal em t=0; quem estiver acima aplica primeiro frenagem, quem estiver abaixo aplica primeiro aceleração.

Passo 6

Em forma de realimentação, definimos
\Delta(x_{1},x_{2}) \;=\; x_{2}^{2} + 2\,x_{1}.
O controle ótimo é bang–bang com uma única troca sobre \Delta=0\): \[u^{*}(x_{1},x_{2}) = \begin{cases} \;+\!1, & \Delta(x_{1},x_{2})<0,\\\\ -\!1, & \Delta(x_{1},x_{2})>0, \end{cases}
ou seja,
– Se x_{2}^{2}+2x_{1}<0\], então \(u=+1
– Se x_{2}^{2}+2x_{1}>0, então u=-1
e quando x_{2}^{2}+2x_{1}=0 ocorre a troca de bang.

Resposta

O controle ótimo em tempo mínimo satisfazido \lvert u\rvert\le1\) é bang–bang com troca única sobre a curva \[x_{2}^{2}+2\,x_{1}=0,
mais precisamente
u^{*}(x_{1},x_{2}) = \begin{cases} +1, & x_{2}^{2}+2x_{1}<0,\\\\ -1, & x_{2}^{2}+2x_{1}>0, \end{cases}
de forma a levar ((x_{1}(0),x_{2}(0))] até a origem no menor tempo possível.

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