Aplicando a programação dinâmica resolver o problema LQR para o seguinte sistema
\dot{x}=A x+B u
com índice de desempenho
\mathcal{I}=\int_{0}^{\infty}\left(\boldsymbol{x}^{T} \boldsymbol{Q} \boldsymbol{x}+\boldsymbol{R} u^{2}\right) d t
condições iniciais: \boldsymbol{x}(0)=\left[\begin{array}{l}1 \\\\ 1\end{array}\right]
2. \boldsymbol{A}=\left[\begin{array}{ll}0 & 1 \\\\ 2 & 3\end{array}\right], \boldsymbol{B}=\left[\begin{array}{l}0 \\\\ 1\end{array}\right], \boldsymbol{Q}=\left[\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right], R=0,1.

Passo 1

O enunciado pede para resolver via programação dinâmica o problema LQR contínuo
\dot{x}=A\,x+B\,u
com índice de desempenho
\mathcal{I}=\int_{0}^{\infty}\bigl(x^{T}Q\,x+R\,u^{2}\bigr)\,dt
em que
A=\begin{pmatrix}0&1\\\ 2&3\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}0\\\ 1\end{pmatrix},\quad Q=I_{2},\quad R=0{,}1,\quad x(0)=(1,1)^{T}.
Vamos usar a suposição de que o valor ótimo é dado por V(x)=x^{T}P\,x e derivar a Equação de Riccati Algébrica (ARE).

Passo 2

Partindo de V(x)=x^{T}P\,x, a condição de ótimo via Hamilton–Jacobi–Bellman leva à ARE
A^{T}P+P\,A - P\,B\,R^{-1}B^{T}P + Q = 0.
Aqui R^{-1}=10 e B\,R^{-1}B^{T}=10\begin{pmatrix}0&0\\\ 0&1\end{pmatrix}.

Passo 3

Escrevemos
P=\begin{pmatrix}p_{11}&p_{12}\p_{12}&p_{22}\end{pmatrix}
e trocamos na ARE para obter as três equações escalares:
  1. de (1,1):
4\,p_{12}-10\,p_{12}^{2}+1=0,
  1. de (2,2):
2\,p_{12}+6\,p_{22}-10\,p_{22}^{2}+1=0,
  1. de (1,2):
p_{11}+3\,p_{12}+2\,p_{22}-10\,p_{12}\,p_{22}=0.

Passo 4

Resolvendo
4\,p_{12}-10\,p_{12}^{2}+1=0
vem
p_{12}=\frac{2\pm\sqrt{14}}{10}.
Para P>0 escolhemos
p_{12}=\frac{2+\sqrt{14}}{10}\approx0{,}57417.

Passo 5

Com p_{12}\approx0{,}57417, a equação para p_{22}
2\,p_{12}+6\,p_{22}-10\,p_{22}^{2}+1=0
torna-se
10\,p_{22}^{2}-6\,p_{22}-2{,}14834=0
cuja solução positiva é
p_{22}\approx0{,}85205.

Passo 6

Finalmente, da equação mista
p_{11}+3\,p_{12}+2\,p_{22}-10\,p_{12}\,p_{22}=0
obtemos
p_{11}\approx1{,}46279.

Passo 7

O ganho ótimo em realimentação é
K=R^{-1}B^{T}P=10\,[\,0\;\;1\,]\begin{pmatrix}1{,}4628&0{,}5742\\\ 0{,}5742&0{,}8521\end{pmatrix} =[\,5{,}742\;\;8{,}521\,].
Assim
u^{*}=-K\,x = -5{,}742\,x_{1} -8{,}521\,x_{2}.

Passo 8

O custo ótimo vale
\mathcal{I}^{*}=x(0)^{T}P\,x(0) =1{,}4628+2\cdot0{,}5742+0{,}8521\approx3{,}4632.

Resposta

P=\begin{pmatrix}1{,}4628&0{,}5742\\[6pt]0{,}5742&0{,}8521\end{pmatrix}, K=[\,5{,}742\;\;8{,}521\,], u^{*}=-5{,}742\,x_{1}-8{,}521\,x_{2}, \mathcal{I}^{*}\approx3{,}4632.]

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