Aplicando a programação dinâmica resolver o problema LQR para o seguinte sistema
com índice de desempenho
condições iniciais:
2.
.
2.
Passo 1
O enunciado pede para resolver via programação dinâmica o problema LQR contínuo
com índice de desempenho
em que
Vamos usar a suposição de que o valor ótimo é dado por
e derivar a Equação de Riccati Algébrica (ARE).
Passo 2
Partindo de
, a condição de ótimo via Hamilton–Jacobi–Bellman leva à ARE
Aqui
e
.
Passo 3
Escrevemos
e trocamos na ARE para obter as três equações escalares:
- de (1,1):
- de (2,2):
- de (1,2):
Passo 4
Resolvendo
vem
Para
escolhemos
Passo 5
Com
, a equação para
torna-se
cuja solução positiva é
Passo 6
Finalmente, da equação mista
obtemos
Passo 7
O ganho ótimo em realimentação é
Assim
Passo 8
O custo ótimo vale