Qual o tempo necessário para que um capital, aplicado a uma taxa efetiva de 3% a.m., duplique seu valor?

Passo 1

Beleza, o enunciado pede: “Quanto tempo, em meses, um capital precisa ficar aplicado a 3% de juros compostos AO MÊS para dobrar de valor?”
Conteúdo: juros compostos e uso de logaritmo para “desgrudar” expoentes. Vamos usar a fórmula do montante e depois resolver para o número de períodos.

Passo 2

Fórmula básica de juros compostos:
M = C cdot (1 + i)^n
onde
  • é o capital inicial,
  • é a taxa por período (aqui ),
  • é o número de períodos (meses),
  • é o montante final.

Passo 3

Como queremos que o montante seja o dobro do capital, a gente põe 2C = C cdot (1 + 0,03)^n :
2 = 1,03^n
Dividindo ambos os lados por :
Pra “desgrudar” o que tá no expoente, usamos logaritmo natural:

Passo 4

Aplicando ln nos dois lados:
ln(2) = lnl(1,03^nr) = n cdot ln(1,03)
Isolando n = ln(2)ln(1,03) :
ln(2)approx 0,6931, ln(1,03)approx 0,02956
Agora é só jogar na calculadora:
n approx 0,69310,02956approx 23,45

Resposta

O capital vai dobrar em cerca de 23,45 meses (ou, arredondando, aproximadamente 24 meses).

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