O tempo necessário para manutenção de um equipamento pode ser modelado por uma distribuição normal de média igual a 11 dias e desvio igual a 4 dias. Diante disso:
Calcule a probabilidade do tempo de manutenção de um dado equipamento ser superior a 8 dias.
Calcule a probabilidade do tempo de manutenção de um dado equipamento ser superior a 8 dias.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade.\
Dados fornecidos: (média dos dias),
(desvio padrão dos dias).\
Pergunta: Calcular a probabilidade do tempo de manutenção ser superior a 8 dias, isto é, encontrar , onde
é a variável aleatória que representa o tempo de manutenção.
Dados fornecidos:
Pergunta: Calcular a probabilidade do tempo de manutenção ser superior a 8 dias, isto é, encontrar
Passo 2
Entendendo o que significa “distribuição normal” e como interpretar probabilidades.\
Uma variável com distribuição normal
tem a forma de um “sino” simétrico; probabilidades como
são áreas sob a curva entre
e
. Não calculamos essa área pela fórmula da densidade diretamente na prova — em vez disso usamos a padronização para transformar
numa variável normal padrão
que tem tabela ou função conhecida.
Uma variável
Passo 3
Como padronizar e o motivo.\
Definimos a normal padrão . A padronização transforma qualquer
em
pela fórmula
Definimos a normal padrão
Aqui
é a média de
e
é o desvio padrão. Isso permite usar a tabela (ou calculadora) da função de distribuição acumulada
do
.
Passo 4
Aplicando a padronização ao ponto
.\
Calculamos o valor correspondente a
:
Calculamos o valor
Passo 5
Escrever a probabilidade pedida em termos de
.\
Temos
Temos
Passo 6
Usar a simetria da normal padrão para simplificar.\
A função de distribuição da normal padrão é . Pela simetria da normal em torno de zero vale
A função de distribuição da normal padrão é
Então
Ou, em palavras:
.
Passo 7
Encontrar o valor numérico usando tabela de
(ou calculadora).\
Na tabela da normal padrão ou em calculadora, o valor de é aproximadamente
. Isso pode ser lido na tabela procurando a linha
e a coluna
, que dá
.
Na tabela da normal padrão ou em calculadora, o valor de
Passo 8
Interpretação e checagem rápida.\
Portanto . Em palavras: há aproximadamente
de chance de o tempo de manutenção de um equipamento ser superior a 8 dias. Isso faz sentido porque 8 dias está abaixo da média de 11 dias, então a probabilidade de ser maior que 8 é maior que
.
Portanto