O tempo necessário para manutenção de um equipamento pode ser modelado por uma distribuição normal de média igual a 11 dias e desvio igual a 4 dias. Diante disso:
Calcule a probabilidade do tempo de manutenção de um dado equipamento ser superior a 8 dias.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma probabilidade.\
Dados fornecidos: \mu=11 (média dos dias), \sigma=4 (desvio padrão dos dias).\
Pergunta: Calcular a probabilidade do tempo de manutenção ser superior a 8 dias, isto é, encontrar \mathbb{P}(X>8), onde X é a variável aleatória que representa o tempo de manutenção.

Passo 2

Entendendo o que significa “distribuição normal” e como interpretar probabilidades.\
Uma variável X com distribuição normal \mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}) tem a forma de um “sino” simétrico; probabilidades como \mathbb{P}(a<X<b) são áreas sob a curva entre a e b. Não calculamos essa área pela fórmula da densidade diretamente na prova — em vez disso usamos a padronização para transformar X numa variável normal padrão Z que tem tabela ou função conhecida.

Passo 3

Como padronizar e o motivo.\
Definimos a normal padrão Z\sim\mathcal{N}(0,1). A padronização transforma qualquer X\sim\mathcal{N}(\mu,\sigma^{2}) em Z pela fórmula
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui \mu é a média de X e \sigma é o desvio padrão. Isso permite usar a tabela (ou calculadora) da função de distribuição acumulada \Phi do Z.

Passo 4

Aplicando a padronização ao ponto x=8.\
Calculamos o valor z correspondente a x=8:
z=\frac{8-\mu}{\sigma}=\frac{8-11}{4}=\frac{-3}{4}=-0,75.

Passo 5

Escrever a probabilidade pedida em termos de Z.\
Temos
\mathbb{P}(X>8)=\mathbb{P}\!\left(\frac{X-\mu}{\sigma}>\frac{8-\mu}{\sigma}\right)=\mathbb{P}(Z>-0,75).

Passo 6

Usar a simetria da normal padrão para simplificar.\
A função de distribuição da normal padrão é \Phi(t)=\mathbb{P}(Z\le t). Pela simetria da normal em torno de zero vale
\Phi(-a)=1-\Phi(a).
Então
\mathbb{P}(Z>-0,75)=1-\mathbb{P}(Z\le -0,75)=1-\Phi(-0,75)=1-\bigl(1-\Phi(0,75)\bigr)=\Phi(0,75).
Ou, em palavras: \mathbb{P}(Z>-0,75)=\Phi(0,75).

Passo 7

Encontrar o valor numérico usando tabela de Z (ou calculadora).\
Na tabela da normal padrão ou em calculadora, o valor de \Phi(0,75) é aproximadamente 0,7734. Isso pode ser lido na tabela procurando a linha 0{,}7 e a coluna 0{,}05, que dá 0{,}7734.

Passo 8

Interpretação e checagem rápida.\
Portanto \mathbb{P}(X>8)=\Phi(0,75)\approx 0{,}7734. Em palavras: há aproximadamente 77{,}34\% de chance de o tempo de manutenção de um equipamento ser superior a 8 dias. Isso faz sentido porque 8 dias está abaixo da média de 11 dias, então a probabilidade de ser maior que 8 é maior que 50\%.

Resposta

0,7734

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