O tempo necessário para manutenção de um equipamento pode ser modelado por uma distribuição normal de média igual a 11 dias e desvio igual a 4 dias. Diante disso:
O setor decidiu que sempre que o tempo de manutenção estiver entre os 20 % mais baixos, o responsável pela manutenção ganhará um bônus. Qual o limite máximo de tempo que deve ser respeitado para que o responsável ganhe o bônus?

Passo 1

O enunciado pergunta qual é o limite máximo de tempo de manutenção para que o responsável ganhe o bônus, sabendo que o bônus é dado quando o tempo está entre os 20\% mais baixos. Informações fornecidas:
  • A variável tempo de manutenção é modelada por uma distribuição normal com média \mu=11 dias e desvio padrão \sigma=4 dias.
  • A região de interesse é a cauda inferior de probabilidade 20\%, ou seja, queremos o valor x tal que P(X \le x)=0{,}20.

Passo 2

Qual é a estratégia para encontrar esse x? Vamos transformar o problema para a escala da distribuição normal padrão (aquela com média zero e desvio 1), porque os valores críticos (quantis) são tabelados ou obtidos por funções inversas da normal padrão. Em seguida, voltamos da escala padrão para a escala original usando a média e o desvio padrão dados.
Explicando a transformação (aulas rápidas e amigáveis): se X tem distribuição normal com média \mu e desvio padrão \sigma, definimos a variável padronizada
Z=\frac{X-\mu}{\sigma}.
Aqui:
  • \mu é a média de X (no nosso caso \mu=11).
  • \sigma é o desvio padrão de X (no nosso caso \sigma=4).
    A variável Z tem distribuição normal padrão: média 0 e desvio 1. A relação inversa, que nos permite voltar para X, é
X = \mu + \sigma Z.
Na prova, essa é a fórmula chave: padroniza para achar o z da tabela, depois volte com X=\mu+\sigma z.

Passo 3

Queremos o quantil z_{0{,}20} da normal padrão tal que
P(Z \le z_{0{,}20})=0{,}20.
Como encontrar z_{0{,}20}? Você pode usar uma tabela da normal padrão (procure a probabilidade cumulativa 0{,}20) ou a função inversa da normal em uma calculadora/computador. A tabela ou a função inversa dá aproximadamente
z_{0{,}20}\approx -0{,}8416.
Interpretação: para ficar nos 20\% mais baixos, a pontuação padronizada deve ser cerca de -0{,}84.

Passo 4

Agora voltamos para a escala dos dias usando a fórmula inversa. Substituímos \mu=11, \sigma=4 e z=z_{0{,}20}:
x = \mu + \sigma z.
Substituindo os números:
x = 11 + 4\cdot(-0{,}8416) = 11 - 3{,}3664.
Esse x é o limite máximo de tempo (em dias) para estar nos 20\% mais baixos.
Interpretação final (sem arredondar aqui): o valor calculado acima é o tempo de corte tal que exatamente 20\% das manutenções levam esse tempo ou menos. Na prática de prova, você faria a padronização, consultaria a tabela para achar z e aplicaria X=\mu+\sigma z. Respire fundo — você já tem a técnica para qualquer problema desse tipo!

Resposta

7,63 dias (aproximadamente)

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