O tempo necessário para um medicamento contra dor fazer efeito foi modelado de acordo com o modelo Uniforme no intervalo de 5 a 15 (em minutos) tendo por base experimentos conduzidos em animais. Um paciente, que esteja sofrendo dor, recebe o remédio e, supondo válido o modelo mencionado acima, pergunta-se a probabilidade da dor:
(a) Cessar em até 10 minutos?
(b) Demorar pelo menos 12 minutos?
(c) Durar mais de 7 minutos, sabendo-se que durou menos de 10 ?
(d) Calcular o valor esperado e a variância do tempo para um medicamento contra a dor fazer efeito.

Passo 1

O enunciado diz que o tempo X até o remédio fazer efeito segue uma distribuição uniforme contínua em [5,15]. Precisamos calcular:
  • (a) \Pr(X\le10)
  • (b) \Pr(X\ge12)
  • (c) \Pr(X>7\mid X<10)
  • (d) \mathbb{E}[X] e \mathrm{Var}(X)

Passo 2

Para X\sim\mathrm{Unif}(a,b) com a=5, b=15:
A densidade é
f(x)=\frac{1}{b-a}=\frac{1}{10},\quad x\in[5,15],
e a função de distribuição acumulada é
F(x)=\Pr(X\le x)=\frac{x-a}{b-a}=\frac{x-5}{10},\quad x\in[5,15].

Passo 3

(a) Para \Pr(X\le10) usamos F(10):
\Pr(X\le10)=F(10)=\frac{10-5}{10}=\frac{1}{2}.

Passo 4

(b) Para \Pr(X\ge12) usamos o complemento de F(12):
\Pr(X\ge12)=1-F(12) =1-\frac{12-5}{10} =1-\frac{7}{10} =\frac{3}{10}.

Passo 5

(c) A probabilidade condicional é
\Pr(X>7\mid X<10) =\frac{\Pr(7<X<10)}{\Pr(X<10)} =\frac{\frac{10-7}{10}}{\frac{10-5}{10}} =\frac{3/10}{5/10} =\frac{3}{5}.

Passo 6

(d) As fórmulas para uniforme são
\mathbb{E}[X]=\frac{a+b}{2} =\frac{5+15}{2} =10, \qquad \mathrm{Var}(X)=\frac{(b-a)^{2}}{12} =\frac{(15-5)^{2}}{12} =\frac{100}{12} =\frac{25}{3}.

Resposta

(a) \tfrac{1}{2}
(b) \tfrac{3}{10}
(c) \tfrac{3}{5}
(d) \mathbb{E}[X]=10, \mathrm{Var}(X)=\tfrac{25}{3}

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