Ex20. Um experimento foi realizado com bovinos de confinamento, avaliando os efeitos de um determinado tratamento (com uma substância desenvolvida a partir de células vegetais). Em uma amostra de 8 animais buscou-se avaliar o ganho de peso (em kg) ao final de 120 dia de tratamento. Os resultados foram:
Peso Inicial 428 415 386 335 392 400 425 410
Peso aos 120 dias 483 466 446 386 430 459 497 476
a) Calcule a média de peso em cada momento de avaliação.
b) Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação em cada momento. Verifique, justificando, em qual momento podemos verificar uma maior variação nos pesos dos animais.
c) Encontre o ganho médio e mediano de peso ao final dos 120 dias de tratamento.
d) Calcule a variância, o desvio padrão e o coeficiente de variação ganho médio de peso dos animais.

Passo 1

O enunciado apresenta pesos iniciais e finais de n=8 bovinos e pede estatísticas descritivas: médias, variâncias, desvios padrão, coeficientes de variação e mediana do ganho. Vamos usar as fórmulas básicas de estatística descritiva:
• Média:
\bar x = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n x_i.
• Variância (populacional):
\sigma^2 = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n (x_i - \bar x)^2.
• Desvio padrão:
\sigma = \sqrt{\sigma^2}.
• Coeficiente de variação:
CV = \frac{\sigma}{\bar x}\times 100\%.
• Mediana para n par: média dos dois valores centrais ordenados.

Passo 2

Primeiro calculamos as médias dos pesos inicial e aos 120 dias.
Soma dos pesos iniciais:
\sum x_{\rm in} = 428 + 415 + 386 + 335 + 392 + 400 + 425 + 410 = 3191.
Logo
\bar x_{\rm in} = \frac{3191}{8} = 398,875\text{ kg}.
Soma dos pesos aos 120 dias:
\sum x_{\rm fi} = 483 + 466 + 446 + 386 + 430 + 459 + 497 + 476 = 3643.
Logo
\bar x_{\rm fi} = \frac{3643}{8} = 455,375\text{ kg}.

Passo 3

Agora a variância, o desvio padrão e o CV em cada momento.
Para os pesos iniciais, as somas dos quadrados dos desvios foram
\sum (x_{\rm in}-398,875)^2 = 6208,625,
então
\sigma^2_{\rm in} = \frac{6208,625}{8} = 776,078,\quad \sigma_{\rm in} = \sqrt{776,078} = 27,857,\quad CV_{\rm in} = \frac{27,857}{398,875}\times100\% = 6,99\%.
Para os pesos finais, a soma dos quadrados dos desvios foi
\sum (x_{\rm fi}-455,375)^2 = 8593,125,
então
\sigma^2_{\rm fi} = \frac{8593,125}{8} = 1074,141,\quad \sigma_{\rm fi} = \sqrt{1074,141} = 32,777,\quad CV_{\rm fi} = \frac{32,777}{455,375}\times100\% = 7,20\%.
Comparando os coeficientes de variação, CV_{\rm fi}=7,20\%>CV_{\rm in}=6,99\%, logo há maior dispersão nos pesos aos 120 dias.

Passo 4

Calculamos o ganho de peso g_i = x_{{\rm fi},i}-x_{{\rm in},i} para cada animal, obtendo
g = (55,\,51,\,60,\,51,\,38,\,59,\,72,\,66).
A média do ganho é
\bar g = \frac{1}{8}\sum_{i=1}^8 g_i = \frac{452}{8} = 56,5\text{ kg}.
Ordenando g: (38,51,51,55,59,60,66,72), a mediana é a média do 4º e 5º valores:
\text{mediana}(g) = \frac{55 + 59}{2} = 57\text{ kg}.

Passo 5

Para o ganho, a soma dos quadrados dos desvios em torno de \bar g=56,5 é
\sum (g_i - 56,5)^2 = 754,
então
\sigma^2_g = \frac{754}{8} = 94,25,\quad \sigma_g = \sqrt{94,25} = 9,708,\quad CV_g = \frac{9,708}{56,5}\times100\% = 17,18\%.

Resposta

a) \bar x_{\rm in}=398,875 kg; \bar x_{\rm fi}=455,375 kg
b) Inicial: \sigma^2=776,08, \sigma=27,86, CV=6,99\%. Aos 120 dias: \sigma^2=1074,14, \sigma=32,78, CV=7,20\%. Maior variação aos 120 dias ( CV maior).
c) Ganho médio \bar g=56,5 kg; ganho mediano =57 kg
d) Ganho: \sigma^2=94,25, \sigma=9,71, CV=17,18\%

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