1. O tempo de parada de um veículo é dado resolvendo-se a equação diferencial \frac{W}{g} \frac{d^{2} x}{d t^{2}}= - f W, na qual W é o peso do veículo, f o coeficiente de fricção, g a constante gravitacional, x a distância percorrida e t o tempo.
    (a) Determine a função velocidade.
    (b) Determine o tempo que o veículo demora para parar.
    (c) Determine a função deslocamento.
    (e) Determine a distância percorrida pelo veículo até parar.
    (a) Sendo a(t)=\frac{d^{2} x(t)}{d t^{2}}=\frac{d v(t)}{d t} e a=-f g temos:
    v(t)=\int a(t) d t=\int(-f g) d t
    v(t)=-f g t+k
    v(0)=0+k=v_{0}
    Logo, v(t)=-f g t+v_{0}
    (b) Procuramos t quando v(t)=0, assim
    v(t)=-f g t+v_{0}=0 \Rightarrow t=\frac{v_{0}}{f g}
    (c) Integramos a função velocidade para obter a função deslocamento, impondo a condição de que em t=0, x=0.
    x(t)=\int v(t) d t=-f g \frac{t^{2}}{2}+v_{0} t+k x(0)=k=0 \Rightarrow x(t)=v_{0} t-f g \frac{t^{2}}{2}

Passo 1

O enunciado nos dá uma equação diferencial de segunda ordem para o deslocamento x(t) de um veículo sob frenagem por atrito:
\frac{W}{g}\,\frac{d^{2}x}{dt^{2}} = -f\,W,
onde W é o peso do veículo, g a aceleração da gravidade, f o coeficiente de atrito, t o tempo e x a distância percorrida. Vamos usar que a aceleração a(t)=d^{2}x/dt^{2} é constante, igual a -f\,g, para então integrar e obter velocidade, tempo de parada, deslocamento e distância total até parar.

Passo 2

Como \tfrac{W}{g}\,a(t)=-f\,W, simplificando obtemos
a(t)=\frac{d v}{d t} = -f\,g,
ou seja, aceleração constante. Integramos em relação a t para achar a velocidade:
v(t) = \int a(t)\,dt = \int(-f\,g)\,dt = -f\,g\,t + C_1.
Impondo condição inicial v(0)=v_0, vemos que C_1=v_0. Assim,
v(t) = -f\,g\,t + v_0.

Passo 3

O tempo de parada t_s ocorre quando v(t_s)=0. Logo,
0 = -f\,g\,t_s + v_0 \;\;\Longrightarrow\;\; t_s = \frac{v_0}{f\,g}.

Passo 4

Para obter o deslocamento x(t), integramos v(t):
x(t) = \int v(t)\,dt = \int\bigl(-f\,g\,t + v_0\bigr)\,dt = -f\,g\,\frac{t^2}{2} + v_0\,t + C_2.
Com x(0)=0 segue C_2=0. Portanto,
x(t) = v_0\,t - \frac{f\,g}{2}\,t^2.

Passo 5

A distância total percorrida até o veículo parar é x(t_s). Substituindo t_s = v_0/(f\,g) em x(t):
x(t_s) = v_0\!\left(\frac{v_0}{f\,g}\right) - \frac{f\,g}{2}\!\left(\frac{v_0}{f\,g}\right)^2 = \frac{v_0^2}{f\,g} - \frac{f\,g}{2}\,\frac{v_0^2}{f^2\,g^2} = \frac{v_0^2}{f\,g} - \frac{v_0^2}{2\,f\,g} = \frac{v_0^2}{2\,f\,g}.

Resposta

(a) \displaystyle v(t) = -f\,g\,t + v_0.
(b) \displaystyle t_s = \frac{v_0}{f\,g}.
(c) \displaystyle x(t) = v_0\,t - \frac{f\,g}{2}\,t^2.
(e) \displaystyle x(t_s) = \frac{v_0^2}{2\,f\,g}.

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