O tempo de propagação t_{p} de um sistema estável h(t) é dado por
t_{p}=\frac{\int_{-\infty}^{+\infty} t h(t) d t}{\int_{-\infty}^{+\infty} h(t) d t}
Determine o tempo de propagação do sistema
\ddot{y}(t)+7 \dot{y}(t)+12 y(t)=x(t)

Passo 1

O enunciado pede o tempo de propagação, definido como o primeiro momento do impulso dividido pela área do impulso. O sistema é LTI e estável, dado por
\ddot{y}(t) + 7\dot{y}(t) + 12y(t) = x(t).
Para resolver, vamos obter a resposta ao impulso h(t) via transformada de Laplace e depois calcular
t_{p} = \frac{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} t\,h(t)\,dt}{\displaystyle\int_{-\infty}^{\infty} h(t)\,dt}.

Passo 2

Aplicamos Laplace assumindo condições iniciais nulas. A transformada de saída é
Y(s) = H(s)\,X(s),
com
H(s) = \frac{1}{s^{2} + 7s + 12}.
Fatoramos o denominador:
s^{2}+7s+12 = (s+3)(s+4).
Fazemos frações parciais:
\frac{1}{(s+3)(s+4)} = \frac{1}{s+3} - \frac{1}{s+4}.

Passo 3

Invertendo Laplace, obtemos a resposta ao impulso:
h(t) = \bigl(e^{-3t} - e^{-4t}\bigr)\,u(t),
onde u(t) é o degrau de Heaviside.

Passo 4

Calculamos a área total do impulso (denominador de t_{p}):
\int_{-\infty}^{\infty} h(t)\,dt = \int_{0}^{\infty}\bigl(e^{-3t} - e^{-4t}\bigr)dt = \frac{1}{3} - \frac{1}{4} = \frac{1}{12}.

Passo 5

Calculamos o primeiro momento (numerador de t_{p}):
\int_{-\infty}^{\infty} t\,h(t)\,dt = \int_{0}^{\infty} t\bigl(e^{-3t} - e^{-4t}\bigr)dt = \frac{1}{3^{2}} - \frac{1}{4^{2}} = \frac{1}{9} - \frac{1}{16} = \frac{7}{144}.

Passo 6

Finalmente, o tempo de propagação é
t_{p} = \frac{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} t\,h(t)\,dt}{\displaystyle \int_{-\infty}^{\infty} h(t)\,dt} = \frac{\tfrac{7}{144}}{\tfrac{1}{12}} = \frac{7}{12}.

Resposta

\displaystyle t_{p} = \frac{7}{12}.

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