Determine o tempo de propagação t_{p} do sistema
H(s)=\frac{s+3}{s^{3}+5 s^{2}+10 s+4}

Passo 1

O enunciado nos dá a função de transferência
H(s)=\frac{s+3}{s^{3}+5s^{2}+10s+4}
e pede o tempo de propagação t_{p}. Em teoria de sistemas lineares, o tempo de propagação pode ser definido como
t_{p} \;=\; -\left.\frac{d}{ds}\ln H(s)\right|_{s=0}\,.
Para calcular isso, precisamos encontrar \displaystyle\frac{d}{ds}\ln H(s)=\frac{H'(s)}{H(s)} e depois avaliar em s=0.

Passo 2

Calcular H(0).
H(0)=\frac{0+3}{0^{3}+5\cdot0^{2}+10\cdot0+4} =\frac{3}{4}\,.

Passo 3

Calcular H'(s). Usamos a derivada de um quociente:
H'(s) =\frac{(1)\bigl(s^3+5s^2+10s+4\bigr) -(s+3)\bigl(3s^2+10s+10\bigr)}{\bigl(s^3+5s^2+10s+4\bigr)^2}\,.
Agora avaliamos em s=0:
H'(0) =\frac{1\cdot4-(0+3)\cdot10}{4^{2}} =\frac{4-30}{16} =\,-\frac{26}{16} =-\frac{13}{8}\,.

Passo 4

Formar \displaystyle\frac{H'(0)}{H(0)} e lembrar do sinal em t_{p}:
\frac{H'(0)}{H(0)} =\frac{-\tfrac{13}{8}}{\tfrac{3}{4}} =-\frac{13}{8}\cdot\frac{4}{3} =-\frac{13}{6}\,,
portanto
t_{p} =-\left(\frac{H'(0)}{H(0)}\right) =-\bigl(-\tfrac{13}{6}\bigr) =\frac{13}{6}\,\text{s}.

Resposta

O tempo de propagação é
t_{p}=\frac{13}{6}\;\text{s}\approx2{,}1667\;\text{s}.

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